Cuál es el dominio de la función $f(x)=\sin^{-1}\left(\frac{8(3)^{x-2}}{1-3^{2(x-1)}}\right)$ ?

Question

Cuál es el dominio de la función $f(x)=\sin^{-1}\left(\frac{8(3)^{x-2}}{1-3^{2(x-1)}}\right)$ ?

Empecé a usar el hecho $-\frac{\pi}{2}\le f(x) \le \frac{\pi}{2}\implies-1 \le\frac{8(3)^{x-2}}{1-3^{2(x-1)}}\le1$ Ahora, al diseccionarlo en dos casos.

$CASE (1): -1 \le\frac{8(3)^{x-2}}{1-3^{2(x-1)}}$

$CASE (2): \frac{8(3)^{x-2}}{1-3^{2(x-1)}}\le1$

Los cálculos en ambos casos son considerables, por eso no los muestro.

Necesito a alguien que pueda ayudarme a resolver esto.

Answer 1

Una pista:

Paso1 : Escriba el primer caso como $$-1\le \frac {\frac 83 \cdot t}{1-t^2}$$

Paso 2: Y el segundo caso como $$ \frac {\frac 83 \cdot t}{1-t^2}\le 1$$

Donde $t=3^{x-1}$ y por lo tanto

Paso 3: $t\ge 0$

Ahora puedes tomar la intersección de los intervalos obtenidos en los 3 pasos anteriores para obtener el dominio de $t$ y lo sustituye en forma de $x$ para obtener el dominio original

Answer 2

Examina eso,

$$\lim_{x\to-\infty}\frac{8(3)^{x-2}}{1-3^{2(x-1)}}=0$$

$$\lim_{x\to\infty}\frac{8(3)^{x-2}}{1-3^{2(x-1)}}=0$$

Además la función es discontinua en $x=1$ .

Ahora comprueba dónde asume los valores $1$ y $-1$ .

$$\frac{8(3)^{x-2}}{1-3^{2(x-1)}}=1$$

$$8(3)^{x-2}=1-3^{2(x-1)}$$

$$8(3)^{x-2}+3^{2(x-1)}=1$$

$$3^{x-1}(\frac{8}{3}+3^{x-1})=1$$

Dejemos que $3^{x-1}=t$

$$t(8+3t)=3$$

$$t=\frac{1}{3} \implies x=0 $$

---

$$\frac{8(3)^{x-2}}{1-3^{2(x-1)}}=-1$$

$$8(3)^{x-2}=-1+3^{2(x-1)}$$

$$8(3)^{x-2}-3^{2(x-1)}=-1$$

$$3^{x-1}(\frac{8}{3}-3^{x-1})=-1$$

Dejemos que $3^{x-1}=t$

$$t(8-3t)=-3$$

$$t=3 \implies x=2 $$

---

Por lo tanto, el dominio es, $$(-\infty,0]\cup[2,\infty)$$

Answer 3

Una pista:

Dejemos que $3^{x-2}=a\implies a>0$ de verdad $x$

$$-1\le\dfrac{8a}{1-9a^2}\le1$$

$$\dfrac{8a}{1-9a^2}\le1\iff0\le\dfrac{9a^2+8a-1}{9a^2-1}=\dfrac{(9a-1)(a+1)}{(3a-1)(3a+1)}$$

Como $a.0,$ necesitamos $\dfrac{9a-1}{3a-1}\ge0$

$\implies$ o bien $9a-1=0\iff a=?$ o $ a>$ max $\left(\dfrac19,\dfrac13\right)$ o $a<$ min $\left(\dfrac19,\dfrac13\right)$

$\implies x<-2$ o $x\ge-1$

Del mismo modo, para $$-1\le\dfrac{8a}{1-9a^2}\iff\dfrac{8a+1-9a^2}{1-9a^2}\ge0$$

$$\iff\dfrac{(9a+1)(a-1)}{(3a+1)(3a-1)}\le0$$

Como $a.0,$ necesitamos $\dfrac{a-1}{3a-1}\ge0$

¿Puedes llevarlo desde aquí?