Condiciones - Combinación lineal de 3 vectores dentro de un triángulo (Strang P10, 1.1.20)

Question

¿Con qué restricciones sobre $c, d, e,$ las combinaciones $c\mathbf{u} + d\mathbf{v} + e\mathbf{w}$ ¿Rellenar [es decir, frenar/reintroducir] el triángulo discontinuo? Para permanecer en el triángulo, un requisito es $c \geq 0 \; \& \; d \geq 0 \; \& \; e \geq 0.$

Respuesta: Para llenar el triángulo mantenga $c, d, e \geq 0$ y $c + d + e = 1.$

¿Podría alguien desmitificar cómo y por qué $c + d + e = 1$ ? ¿De dónde surgió?

---

Suplemento a la respuesta de Revanth Kashyap:

Cómo y por qué:

¿Si $\mathbf{u}, \mathbf{v}, \mathbf{w}$ son coplanares y $k_1\mathbf{u} + k_2\mathbf{v} + k_3\mathbf{w} = 0$ entonces $ k_1 + k_2 + k_3 = 0$ ?

Answer 1

Desplazar el Origen a las cabezas de cualquiera de los tres vectores, digamos w . Los vectores originales se convierten ahora en v - w , u - w y $\mathbf 0$ (Vector Cero).

Ahora bien, para que un vector se sitúe en el triángulo así formado, debe ser de la forma :

$\lambda$ ( v - w )+ $\mu$ ( u - w ), con $\lambda \ge 0$ , $\mu$$ \N - La marca de la empresa. $$ 0$ y $\lambda+\mu\le1$

Simplificando la expresión anterior, obtenemos :

$\mu\mathbf{u}$ + $\lambda\mathbf{v}$ - $(\lambda$ + $\mu)\mathbf w$

Volviendo al origen original, la expresión se convierte en :

$\mu\mathbf{u}$ + $\lambda\mathbf{v}$ - $(\lambda$ + $\mu)\mathbf w$ + $\mathbf w$

es decir, $\mu\mathbf{u}$ + $\lambda\mathbf{v}$ + $(1-(\lambda$ + $\mu))\mathbf w$

Comparándolo con $c\mathbf{u} + d\mathbf{v} + e\mathbf{w}$ , obtenemos :

$\mu$ = c y como $\mu \ge 0$ , c $\ge 0$

$\lambda$ = d y como $\lambda \ge 0$ , d $\ge 0$

$1-(\lambda$ + $\mu)$ = e y como $\lambda+\mu\le1$ , e $\ge 0$

De los tres hechos anteriores obtenemos, c + d + e \= 1 y c $\ge 0$ , d $\ge 0$ y e $\ge 0$

Answer 2

Considerar un vector P = cU+dV+eW como una combinación lineal de U,V,W

Ahora bien, si P tiene que estar en el triángulo como se muestra,

los vectores UV, VW y PU deben ser coplanarios

por lo que la PU puede expresarse como una combinación lineal de UV y VW

PU = mUV+nVW

(c-1)U + dV + eW = m(V-U)+ n(W-V)

(c+m-1) U + (d+n-m) V + (e-n) W = 0

como U, V , W no son coplanares, la suma de los coeficientes en la ecuación anterior es 0

y por tanto c+d+e = 1

Answer 3

Creo que debería ser "Desde $U$ , $V$ , $W$ no son coplanares, $c+m-1=d+n-m=e-n=0$ y por lo tanto $c+d+e = 1$ "

Es porque $U$ , $V$ , $W$ son coplanares si y sólo si las ecuaciones tienen una solución distinta de α = β = γ $ = 0$ (α $U$ + β $V$ + γ $W = 0$ )