Necesito ayuda para probar esto: $\sum\limits_{k=1}^n k\binom{n}{k}=n \cdot 2^{n-1} $ donde $n$ es un número entero $\geq 1$ .
La pregunta también dice que tomar la derivada de $(1 + x)^n$ sería útil lo que he comprobado que es $n(1+x)^{n-1}$
se agradece cualquier ayuda, gracias.
Utilizando la identidad binomial mostrada en $(3)$ tenemos $$ \begin{align} k\binom{n}{k} &=\binom{k}{1}\binom{n}{k}\\ &=\binom{n}{1}\binom{n-1}{k-1}\tag{1} \end{align} $$ Ahora suma $(1)$ : $$ \begin{align} \sum_{k=1}^nk\binom{n}{k} &=\sum_{k=1}^n\binom{n}{1}\binom{n-1}{k-1}\\ &=n2^{n-1}\tag{2} \end{align} $$
Identidad Binomial $$ \begin{align} \binom{n}{k}\binom{k}{j} &=\lower{10pt}\overset{\displaystyle\overbrace{\binom{n-j}{k-j}\frac{n-j+1}{k-j+1}\cdots\frac{n}{k}}^{\binom{n}{k}}\binom{k}{j}}{\hphantom{\binom{n-j}{k-j}}\underbrace{\hphantom{\frac{n-j+1}{k-j+1}\cdots\frac{n}{k}\binom{k}{j}}}_{\binom{n}{j}}}\\ &=\binom{n-j}{k-j}\binom{n}{j}\tag{3} \end{align} $$
Dejemos que $S = \sum_{k = 1}^n k\binom{n}{k} = \sum_{k = 0}^n k\binom{n}{k}$ . Entonces
$$S = \sum_{k = 0}^n \left[n\binom{n}{k} - (n-k)\binom{n}{k}\right] = \sum_{k = 0}^n \left[n\binom{n}{k} - (n-k)\binom{n}{n-k}\right] = n\sum_{k = 0}^n \binom{n}{k} - S.$$
Resolver para $S$ obtenemos $$S = \frac{n}{2}\sum_{k = 0}^n \binom{n}{k} = \frac{n}{2}\cdot 2^n = n\cdot 2^{n-1}$$
Crear una historia para demostrar una identidad combinatoria mediante el doble conteo siempre es divertido.
LHS: Elija $k$ entre $n$ objetos, y luego elegir un objeto favorito entre los $k$ . Aquí, $k$ debe ser al menos 1, y puede ser tanto como $n$ .
RHS: Empieza por elegir un favorito entre los $n$ objetos. A continuación, para cada uno de los $n-1$ objetos restantes, decida de uno en uno si lo incluye o no.
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