¿Esta integral tiene una forma cerrada de expresión?

Question

He estado trabajando con dos integrales. El primero de los rendimientos de una expresión simple, pero me parece que no puede encontrar una expresión simple para el segundo.

Integral 1

$$ \begin{align*} I_x &= \int_z^{1-y+z} \sqrt{\frac{1}{1-x-y+z} + \frac{1}{x-z}} \, dx\\ &= \int_z^{1-y+z} \sqrt{\frac{1-y}{(1-x-y+z)(x-z)}} \, dx\\ &= \sqrt{1-y} \int_z^{1-y+z} \frac{1}{\sqrt{(1-x-y+z)(x-z)}} \, dx\\ \end{align*} $$

Podemos sustituir el $u=\frac{x-z}{1-y}$, lo $x=u(1-y)+z$, e $dx=(1-y) \, du$. Entonces tenemos:

$$ \begin{align*} I_x &= \sqrt{1-y} \int_0^1 u^{\frac{1}{2}-1}(1-u)^{\frac{1}{2}-1} \, du\\ &= \sqrt{1-y} \, \operatorname{B} \left( \tfrac{1}{2}, \tfrac{1}{2} \right)\\ &= \sqrt{1-y} \, \pi \end{align*} $$

Así que esta integral tiene una expresión sencilla ya que la sustitución de led a la forma exacta de la función beta.

Integral 2

$$ I_z = \int_{\max(0,x+y-1)}^{\min(x,y)} \sqrt{\frac{1}{1-x-y+z} + \frac{1}{x-z} + \frac{1}{y-z} + \frac{1}{z}} \, dz $$

Esto parece estar relacionado con la primera integral, pero me parece que no puede simplificar. Incluso si asumimos que uno de los cuatro "casos" de los límites de integración ($\int_0^x$, $\int_0^y$, $\int_{x+y-1}^x$, o $\int_{x+y-1}^y$) y tratar de proceder, no parece ayudar.

Me estoy perdiendo algo simple? Hay un oscuro integración técnica que podría ayudar? O es que hay simplemente no hay forma de simplificar esto?

Actualización (6-26-14): De Jacquet Y Szpankowski, 2003, "de Markov Tipos y Minimax Redundancia de Fuentes de Markov" (enlace), pág.10, tenemos la siguiente, que puede (o no puede) ayudar aquí:

$$ \begin{align*} I_{JS} &= 4 \int_0^1 \frac{1}{\sqrt{(1{-}x)x}} \, dx \int_0^{\min(x,1{-}x)} \frac{1}{(1{-}x{-}y)(x{-}y)} \, dy\\ &= 8 \int_0^{\frac{1}{2}} \frac{\log(1{-}2x) - \log\left(1{-}2\sqrt{(1{-}x)x}\right)}{\sqrt{(1{-}x)x}} \, dx\\ &= 16 \int_0^{\frac{\pi}{4}} \log \left( \frac{\cos(2\theta)}{1{-}\sin(2\theta)} \right) \, d\theta\\ &= 16 \, G\\ \end{align*} $$

donde $G \approx 0.915965594$ es del catalán constante.

Answer 1

Primero de todo, en relación con los límites de integración $a=\max{(0,x+y-1)}$$b=\min{(x,y)}$, usted no tiene que romper su análisis en cuatro casos diferentes para dar cabida a los dos posibles valores tomados de la min/max de las funciones. Estas funciones pueden ser representados en términos de funciones elementales de la siguiente manera:

$$\max{(a,b)}=\frac{a+b}{2}+\frac12|a-b|=\frac{a+b}{2}+\frac12\sqrt{(a-b)^2},\\ \min{(a,b)}=\frac{a+b}{2}-\frac12|a-b|=\frac{a+b}{2}-\frac12\sqrt{(a-b)^2}.$$

Con eso en mente, y después de hacer las sustituciones $u=2z-x-y$, seguido por $w=u+1$, un poco de álgebra se reduce a la integral:

$$\begin{align} \mathcal{I}{\left(x,y\right)} &=\int_{\max{(0,x+y-1)}}^{\min{(x,y)}}\sqrt{\frac{1}{z}+\frac{1}{z-(x+y-1)}+\frac{1}{x-z}+\frac{1}{y-z}}\,\mathrm{d}z\\ &=\int_{\frac{x+y-1+|1-x-y|}{2}}^{\frac{x+y-|x-y|}{2}}\sqrt{\frac{1}{z}+\frac{1}{z-(x+y-1)}+\frac{1}{x-z}+\frac{1}{y-z}}\,\mathrm{d}z\\ &=\frac12\int_{-1+|1-x-y|}^{-|x-y|}\sqrt{\frac{1}{\frac{u+x+y}{2}}+\frac{1}{\frac{u+x+y}{2}-(x+y-1)}+\frac{1}{x-\frac{u+x+y}{2}}+\frac{1}{y-\frac{u+x+y}{2}}}\,\mathrm{d}u\\ &=\frac12\int_{-1+|1-x-y|}^{-|x-y|}\sqrt{\frac{2}{u+x+y}+\frac{2}{u-x-y+2}+\frac{2}{-u+x-y}+\frac{2}{-u-x+y}}\,\mathrm{d}u\\ &=\frac{\sqrt{2}}{2}\int_{-1+|1-x-y|}^{-|x-y|}\sqrt{\frac{1}{u+x+y}+\frac{1}{u-x-y+2}+\frac{1}{-u+x-y}+\frac{1}{-u-x+y}}\,\mathrm{d}u\\ &=\frac{\sqrt{2}}{2}\int_{|1-x-y|}^{1-|x-y|}\sqrt{\frac{1}{w+x+y-1}+\frac{1}{w-x-y+1}+\frac{1}{1-w+x-y}+\frac{1}{1-w-x+y}}\,\mathrm{d}w\\ &=\frac{\sqrt{2}}{2}\int_{|1-x-y|}^{1-|x-y|}\sqrt{\frac{2w}{w^2-(x+y-1)^2}+\frac{2(1-w)}{(1-w)^2-(x-y)^2}}\,\mathrm{d}w\\ &=\int_{|1-x-y|}^{1-|x-y|}\sqrt{\frac{w}{w^2-|x+y-1|^2}+\frac{(1-w)}{(1-w)^2-|x-y|^2}}\,\mathrm{d}w. \end{align}$$

En este punto no estoy exactamente seguro de cómo proceder mejor. Mi intestino está empezando a decirme que esta integral es el que va a terminar siendo una espantosa cosa en términos de las integrales elípticas.