¿Cómo encontrar el rango o dominio de una función?

Question

Esta es una pregunta general que hago, realmente necesito que me lo expliquen. Aquí hay un ejemplo de lo que quiero decir:

Las funciones $f$ y $g$ se definen por

$f( x)= x^3 + 1$ , $0 x 3$

$g(x)= x + 5$ , $x \in \mathbb R$ .

Y me pidieron que encontrara el rango de $g(f(x))$ ?? Que tengo que ser $= x^3 + 6$ .

Pero no sé cómo encontrar el rango y si me pidieran que dijera el dominio en otro caso no sabría cómo hacerlo.

Answer 1

Puedes encontrar el rango de composición de dos funciones siguiendo la composición paso a paso. Generalmente, el rango consiste en todos los números que la función puede producir, dado $x$ en un intervalo determinado. En primer lugar, se encuentra lo que los números pueden ser producidos por $f$ cuando se da $x$ en $[0,3]$ . A continuación, debe alimentar la salida de $f$ en $g$ y ver qué $g$ salidas.

Ayuda a prestar atención a los intervalos en los que cada función aumentando o disminuyendo . De hecho, $x^3+1$ es creciente para todos los $x\ge 0$ . Por lo tanto, su rango en el intervalo $[0,3]$ es el intervalo $[f(0),f(3)]$ . Que es $[1,28]$ .

El siguiente paso es encontrar el rango de $g$ en el intervalo $[1,28]$ . De nuevo, ayuda que $g$ está aumentando. Por esta razón, la gama es $[g(1),g(28)]$ . Que es $[6,33]$ . Este es el rango de la función compuesta también.

Answer 2

Definir $h : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ de la siguiente manera: $$h(x) = x^3+6.$$

Lo importante es que hemos elegido $h$ de tal manera que el rango de $g \circ f$ simplemente es igual a $h([0,3]).$ Así que vamos a seguir adelante y encontrar $h([0,3])$ .

Para empezar, necesitamos saber lo siguiente:

Teorema. Supongamos que $f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ es una función continua. Entonces $$f([a,b]) = \left[\mathop{\mathrm{min}}_{x \in [a,b]} f(x), \mathop{\mathrm{max}}_{x \in [a,b]} f(x)\right]$$

Por lo tanto, ya que $h$ es continua, tenemos: $$h([0,3]) = \left[\mathop{\mathrm{min}}_{x \in [0,3]} h(x), \mathop{\mathrm{max}}_{x \in [0,3]} h(x)\right]$$

Ahora vamos a usar:

Teorema. Supongamos que $f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ es una función que preserva el orden en el intervalo $[a,b]$ . Entonces tiene un mínimo y un máximo en este intervalo, y $$\mathop{\mathrm{min}}_{x \in [a,b]} f(x) = f(a), \qquad \mathop{\mathrm{max}}_{x \in [a,b]} f(x) = f(b)$$

Por lo tanto, ya que $h$ preserva el orden, tenemos: $$h([0,3]) = [h(0), h(3)]= [6,33]$$

Así que la gama de $g \circ f$ es $[6,33]$ .