Generalizar una serie de números

Question

Sé que estudié esto hace mucho tiempo pero no consigo traer la información a la memoria. Busco construir una fórmula general para la siguiente secuencia de números ->

cuando $x=4$ : $n=(3+x)+2(x-1)$ ;
cuando $x=5$ : $n=(3+x)+3(x-1)+2(x-2)+1(x-3)$ ;
cuando $x=6$ : $n=(3+x)+4(x-1)+3(x-2)+2(x-3)+1(x-4)$ ;

etc. He calculado el patrón pero no puedo generalizarlo en una fórmula. ¿Alguien puede ayudar?

Answer 1

En el supuesto de que haya un plazo $(x-2)$ en el $n=4$ línea, tiene $$n=(3+x)+\sum_{i=1}^{x-2}(x-i(x-1)+i)=\\(3+x)+\sum_{i=1}^{x-2}x-ix=\\3+x+(x-2)x-\frac12(x-2)(x-1)x=\\3+x+x^2-2x-\frac12x^3+\frac32x^2-x=\\-\frac12x^3+\frac52x^2-2x+3$$

Answer 2

Tenga en cuenta que podemos reescribir sus declaraciones:

cuando $x=4:n=(3+x)+2(x-1)$ . Obviamente, si $x=4$ entonces tenemos $n=(3+4)+2(4-1) = 13$ .

$\begin{align} x=5:n&=(3+x)+3(x-1)+2(x-2)+1(x-3)\\ &= 3+4+3(4-1)+2(4-2)+1(4-3)\\ &= 7+9+4+1 \\ &= 21\end{align}$

$\begin{align} x=6:n&=(3+x)+4(x-1)+3(x-2)+2(x-3)+1(x-4) \\ &= 3+6+4(6-1)+3(6-2)+2(6-3)+1(6-4) \\ &=9+20+12+6+2 \\ &= 49 \end{align}$

I buscado para una secuencia que contiene $13,21,49$ en la Enciclopedia Online de Secuencias de Números Enteros, pero no he podido encontrar nada que parezca especialmente útil. Así que no estoy seguro de si hay una secuencia particular aquí.

Se podrían reescribir todos los enteros en términos de $x$ :

$$\begin{align}x=4:n &= 1(3+x)+(x-2)(x-1) \\ &= 3+x+x^2-3x-2 \\ &= x^2-2x+1 \\ &= (x-1)(x-1)\end{align}$$ $$\begin{align} x=5: n &= 1(3+x)+(x-2)(x-1)+(x-3)(x-2) + (x-4)(x-3)\\ &= 3+x+x^2-3x-2+x^2-5x+6+x^2-7x+12 \\ &= 3x^2-14x+1 \end{align}$$

Puede utilizar $\ldots$ para facilitar el proceso: por ejemplo $(x-5)(x-4) + \ldots +(x-1)$ ayudará a escribir las expresiones más largas de forma más compacta.

Sé que no es una respuesta completa, pero espero que te ayude o te dé algunas ideas útiles.