Esto es lo que dice (incluyendo el párrafo anterior):
"Para demostrar en general que $f$ (donde $f(x)=1/x$ ) se aproxima $1/a$ cerca de $a$ para cualquier $a$ procedemos básicamente de la misma manera, excepto que, de nuevo, tenemos que ser un poco más cuidadosos al formular nuestra estipulación inicial. No basta con exigir que $|x-a|$ debe ser inferior a $1$ o cualquier otro número particular, porque si $a$ está cerca de $0$ esto permitiría valores de $x$ que son negativos (por no mencionar la vergonzosa posibilidad de que $x=0$ para que $f(x)$ ni siquiera está definido).
El truco en este caso es exigir primero que $|x-a| < \frac{|a|}{2}$ En otras palabras, requerimos que $x$ estar a menos de la mitad de distancia de $0$ como $a$ ."
Vale, entiendo perfectamente la desigualdad, y lo que intenta decir y por qué, pero parece que la parte inglesa "in other words" no es un enunciado equivalente a la desigualdad.
Si tuviera que traducir la desigualdad a un inglés sencillo, diría: "en otras palabras", $x$ debe estar a menos de la mitad de distancia de $a$ como $a$ es de $0$ ." O una traducción más literal de la propia desigualdad, "la diferencia entre $x$ y $a$ debe ser inferior a la mitad de la diferencia entre $a$ y $0$ ."
Normalmente pasaría por alto este tipo de cosas y asumiría que el autor del libro de texto simplemente cometió un error tipográfico, pero dado que se trata de Spivak y es la cuarta edición y demás, empecé a preguntarme si simplemente estaba malinterpretando la lógica de la afirmación, lo que me irrita como ninguna otra cosa.
Aquí están los dos únicos significados posibles de la frase que puedo discernir (ninguno de los cuales tiene sentido en mi opinión):
(1) " $x$ debe estar a menos de la mitad de distancia de $0$ como $x$ es de $a$ "
-o-
(2) " $x$ debe estar a menos de la mitad de distancia de $0$ como $a$ es de $0$ "
Así que supongamos que se refiere a (1). Así que $x$ está a cierta distancia de $a$ . Entonces la distancia entre $x$ y $0$ es menos de la mitad de esa distancia. Incluso descontando la especificación "la mitad", esta afirmación significaría que $x$ está más cerca de 0 que de $a$ que, me parece, es el frente a de lo que dice esa desigualdad. ¿No se traduciría (1) en $|x|<\frac{|x-a|}{2}$ ?
Ahora supongamos que se refiere a (2). Entonces $a$ está a cierta distancia de $0$ . Entonces la distancia entre $x$ y $0$ es menos de la mitad de esa distancia, lo que también me parece descaradamente incorrecto, porque según la desigualdad, puede haber un $x$ que está MÁS LEJOS de cero que $a$ . (2) no se traduciría en $|x|<\frac{|a|}{2}$ ?
Como he dicho antes, dudo un poco de que esté en lo cierto sobre esto -a pesar de que no se me ocurre cómo podría tener sentido- sólo por el libro del que procede. Pero supongo que siempre habrá erratas en cualquier libro, así que me gustaría saber si ésta es una.
(Dudo que muchos de vosotros tengáis un ejemplar de Spivak por ahí, pero esto está en la página 94 y tiene un pequeño y bonito diagrama/línea numérica que concuerda con la desigualdad pero no con la afirmación... me parece a mí).
Perdón por la longitud. Sólo trato de emular la súper minuciosidad de Spivak :)
