Se busca: ejemplo de una singularidad no algebraica

Question

Dada un $\def\CC{\mathbb C}\CC$-álgebra finitamente generado $R$ y un punto $\CC$ (ideal maximal) $p\in Spec(R)$, defino el tipo de singularidad de $p\in Spec(R)$ como la clase de isomorfismo del anillo local completo $\hat R_p$, como un $\CC$-álgebra.

¿Existen tipos de singularidad no algebraicos? Es decir, ¿existe un anillo local completo con cuerpo residual $\CC$ que sea formalmente finitamente generado (es decir, tiene una sobreyección desde algun $\CC[[x_1,\dots, x_n]]$), pero que no sea el anillo local completo de un $\CC$-álgebra finitamente generado en un ideal maximal?

Al buscar en Google "singlaridad no algebraica" sugiere que la respuesta es sí, pero no puedo encontrar un ejemplo específico. Esperaría que fuera posible escribir una serie de potencias en dos variables $f(x,y)$ de manera que $\CC[[x,y]]/f(x,y)$ sea no algebraico.

¿Cuál es un ejemplo específico de una singularidad formalmente finitamente generada y no algebraica?

Answer 1

Obtuve este ejemplo de Frank Loray. Explicaré la versión analítica, pero la variante formal funciona igual de bien.

Sea $U\subset \mathbb{C}$ abierto. Elija dos funciones holomorfas $f$, $g$ que son algebraicamente independientes sobre $\mathbb{C}$ (por ejemplo, $f(z)=z$, $g(z)=e^z$). Para simplificar, asumamos que $f$, $g$, $0$, $1$ nunca coinciden (de dos en dos) en $U$. Ahora defina $X\subset U\times\mathbb{C}^2$ (con coordenadas $z$, $x$, $y$) como la unión de $x=0$, $y=0$, $x=y$, $y=f(z)\,x$ y $y=g(z)\,x$. Así que, si congelamos $z$, obtenemos cinco líneas en el plano, con pendientes $\infty$, $0$, $1$, $f(z)$ y $g(z)$. Globalmente, $X$ es la unión de cinco copias de $U\times\mathbb{C}$ que se encuentran a lo largo de $Z:=U\times\mathbb{0}$.

Ahora, el punto es que la razón cruzada de cuatro líneas (ordenadas) que pasan por el origen en el plano es un invariante definido intrínsecamente. En particular, independientemente de las coordenadas, podemos recuperar $f$ y $g$ como funciones holomorfas en el lugar singular $Z$. Si $X$ fuera isomorfo a un subconjunto abierto complejo de una variedad algebraica, $f$ y $g$ tendrían que ser dependientes algebraicamente porque $\dim Z=1$: contradicción.

Answer 2

La pregunta principal del PI ha sido respondida de manera hermosa por Moret-Bailly, pero no la pregunta secundaria surgida de su expectativa: "Yo esperaría que fuera posible escribir una serie de potencias en dos variables f(x,y) de forma que ℂ[[x,y]]/f(x,y) no sea algebraico." aunque nos acercamos bastante en los comentarios.

Así que para dejar constancia: esto no es posible. De hecho, tal singularidad sería analítica según un resultado de Michael Artin ("On the solutions of analytic equations", Invent. Math. 5 1968, 277–291, cf. la respuesta de Angelo a Analytic vs. formal vs. étale singularities) y luego sería algebraica según el comentario de Ulrich (es decir, según el Corolario 7.7.3 del libro de Casas-Alvero "Singularities of plane curves", London Mathematical Society Lecture Note Series, 278).

Esto, por supuesto, es consistente con el hecho de que el ejemplo citado por Moret-Bailly está en tres variables.

Answer 3

Esto no es una respuesta, sino un complemento a los comentarios anteriores sobre las singularidades aisladas de las hipersuperficies.

Cada singularidad aislada de una hipersuperficie, $R=\mathbb C[[x_1, \ldots, x_n]]/f(x_1,\ldots,x_n)$, no es solo algebraica sino también $k$-determinada, para algún $k \in \mathbb N.

Si $\mathfrak m \subset \mathbb C[[x_1,\ldots, x_n]]$ entonces decimos que $f$ es $k$-determinada si para cada $g\in \mathbb C[[x_1, \ldots, x_n]]$ que satisfaga $f-g \in \mathfrak m^k$ existe un automorfismo $\varphi :\mathbb C[[x_1,\ldots, x_n]] \to \mathbb C[[x_1, \ldots, x_n]]$ tal que $\varphi(g)= f.

Además, siempre suponiendo que tenemos singularidades aisladas, el número natural $k$ se puede determinar fácilmente a partir de $f. Por ejemplo, en este libro encontrarás el siguiente resultado:

Si $\mathfrak m^{k+1} \subset \mathfrak m^2 J(f)$, donde $J(f)$ es el ideal jacobiano de $f$, entonces $f$ es $k$-determinada.