Se busca: ejemplo de singularidad no algebraica

Question

Dada una entidad finitamente generada $\def\CC{\mathbb C}\CC$ -Álgebra $R$ y un $\CC$ -punto (ideal máximo) $p\in Spec(R)$ Defino el tipo de singularidad de $p\in Spec(R)$ para ser la clase de isomorfismo del anillo local completo $\hat R_p$ como $\CC$ -Álgebra.

¿Existen tipos de singularidades no algebraicas? Es decir, ¿existe un anillo local completo con campo de residuos $\CC$ que está generada formalmente de forma finita (es decir, tiene una suryección desde algún $\CC[[x_1,\dots, x_n]]$ ), pero no es el anillo local completo de un anillo finitamente generado $\CC$ -en un ideal máximo?

Si se busca en Google "singularidad no algebraica" se deduce que la respuesta es sí, pero no encuentro un ejemplo concreto. Yo esperaría que fuera posible escribir una serie de potencias en dos variables $f(x,y)$ para que $\CC[[x,y]]/f(x,y)$ no es algebraico.

¿Qué es una singularidad formalmente generada finitamente no algebraica?

Answer 1

Este ejemplo me lo dio Frank Loray. Voy a explicar la versión analítica, pero la variante formal funciona igual de bien.

Dejemos que $U\subset \mathbb{C}$ estar abierto. Elegir dos funciones holomorfas $f$ , $g$ que son algebraicamente independientes sobre $\mathbb{C}$ (por ejemplo $f(z)=z$ , $g(z)=e^z$ ). Para simplificar, supongamos que $f$ , $g$ , $0$ , $1$ nunca coinciden (por parejas) en $U$ . Ahora defina $X\subset U\times\mathbb{C}^2$ (con coordenadas $z$ , $x$ , $y$ ) como la unión de $x=0$ , $y=0$ , $x=y$ , $y=f(z)\,x$ y $y=g(z)\,x$ . Así, si congelamos $z$ obtenemos cinco líneas en el plano, con pendientes $\infty$ , $0$ , $1$ , $f(z)$ y $g(z)$ . A nivel mundial, $X$ es la unión de cinco copias de $U\times\mathbb{C}$ reunión a lo largo de $Z:=U\times\mathbb{0}$ .

Ahora bien, la cuestión es que la relación de cruce de cuatro líneas (ordenadas) que pasan por el origen en el plano es un invariante intrínsecamente definido. En particular, independientemente de las coordenadas, podemos recuperar $f$ y $g$ como funciones holomorfas en el lugar singular $Z$ . Si $X$ fueran isomorfas a un subconjunto abierto complejo de una variedad algebraica, $f$ y $g$ tendría que ser algebraicamente dependiente porque $\dim Z=1$ : contradicción.

Answer 2

La cuestión principal de la IP ha sido bellamente respondida por Moret-Bailly, pero no la pregunta secundaria surgida de su expectativa: "Yo esperaría que debería ser posible escribir una serie de potencias en dos variables f(x,y) de manera que ℂ[[x,y]]/f(x,y) sea no algebraica". aunque nos acercamos bastante en los comentarios.

Así que, para que conste, esto no es posible. De hecho, tal singularidad sería analítica por un resultado de Michael Artin ("Sobre las soluciones de las ecuaciones analíticas", Invent. Math. 5 1968, 277-291, véase la respuesta de Angelo a Singularidades analíticas, formales y etéreas ) y luego algebraico por el comentario de Ulrich (es decir, por el corolario 7.7.3 del libro de Casas-Alvero "Singularidades de curvas planas", London Mathematical Society Lecture Note Series, 278).

Por supuesto, esto es coherente con el hecho de que el ejemplo citado por Moret-Bailly está en tres variables.

Answer 3

Esto no es una respuesta, sino un complemento a los comentarios anteriores sobre las singularidades aisladas de las hipersuperficies.

Cada singularidad de hipersuperficie aislada, $R=\mathbb C[[x_1, \ldots, x_n]]/f(x_1,\ldots,x_n)$ no es sólo algebraico sino también $k$ -determinado, para algunos $k \in \mathbb N$ .

Si $\mathfrak m \subset \mathbb C[[x_1,\ldots, x_n]]$ entonces decimos que $f$ es $k$ -determinado si para cada $g\in \mathbb C[[x_1, \ldots, x_n]]$ satisfaciendo $f-g \in \mathfrak m^k$ existe un automorfismo $\varphi :\mathbb C[[x_1,\ldots, x_n]] \to \mathbb C[[x_1, \ldots, x_n]]$ tal que $\varphi(g)= f$ .

Además, siempre suponiendo que tenemos singularidades aisladas, el número natural $k$ puede determinarse fácilmente a partir de $f$ . Por ejemplo, en este libro encontrará el siguiente resultado:

Si $\mathfrak m^{k+1} \subset \mathfrak m^2 J(f)$ , donde $J(f)$ es el ideal jacobiano de $f$ entonces $f$ es $k$ -determinado.