Base de un espacio vectorial cociente $\mathbb{R^2}/V$

Question

Sea $\mathbb{R^2}$ sea el habitual $\mathbb{R}-space$ de dimensión 2. Sea $V = \langle \left( 1, 1 \right) \rangle$ sea el subespacio de $V$ generado por el vector $\left( 1, 1 \right)$ . Dar una base del espacio vectorial cociente $\mathbb{R^2}/V$ .

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Necesito ayuda para determinar si mi respuesta es correcta. Ya que $V$ es generado por $\left( 1, 1 \right)$ implica que su tramo es simplemente una línea $y = x$ que pasa por el origen. Por lo tanto, $\mathbb{R^2}/V := \left\{ all \ lines \ y = x + \lambda : \lambda \in \mathbb{R }\right\}$ . Como todos los elementos del conjunto son linealmente independientes, la única base posible es $\left\{ all \ lines \ y = x + \lambda : \lambda \in \mathbb{R }\right\}$ . ¿Es correcta la idea?

Si es así, ¿está bien la notación?

Muchas gracias.

Answer 1

Desde $\dim\Bbb R^2=2$ y $\dim V=1$ , $\dim(\Bbb R^2/V)=2-1=1$ . Así que, toma cualquier elemento $\alpha$ que no sea $0$ de $\Bbb R^2/V$ y $\{\alpha\}$ será una base de $\Bbb R^2/V$ . Por ejemplo, tome $\alpha=(1,0)+V$ .