¿Qué error de descuido cometió este paso?

Question

Supongamos que $f = \frac{(1/2)^n}{1+(1/2)^n}$ donde $n \geq 1 $ Quería dar un límite superior a la función.

Así que lo hice

$f = \frac{(1/2)^n}{1+(1/2)^n} \leq \frac{(1/2)^n}{(1/2)^n} = 1$

Lo cual es correcto, pero entonces también hice

$f = \frac{(1/2)^n}{1+(1/2)^n} \leq \frac{(1/2)^n}{(1)} = (1/2)^n$ y como $n\to \infty$ la función está limitada por $0$ y esto no tiene ningún sentido. No tengo ni idea de lo que estoy haciendo mal en mi álgebra, pero la solución no tiene sentido ot mí, no podía interpretar la respuesta en absoluto

Answer 1

¿Por qué no tiene sentido? Lo que has escrito es correcto. De hecho, $$0 \leq \dfrac{a^n}{1+a^n} \leq a^n$$ es cierto para todos los $a \geq 0$ . Por lo tanto, si $a < 1$ tenemos que $$\lim_{n \to \infty} \dfrac{a^n}{1+a^n} = 0$$

EDITAR

Para $a < 0$ La dividiremos en tres casos. Para $a \in (-1,0)$ tenemos $$\lim_{n \to \infty} \dfrac{a^n}{1+a^n} = \dfrac{\lim_{n \to \infty} a^n}{1+ \lim_{n \to \infty} a^n} = 0$$

Para $a \in (-\infty,-1)$ tenemos $$\dfrac{a^n}{1+a^n} = \dfrac1{1+\left(\dfrac1a \right)^n}$$ Por lo tanto, $$\lim_{n \to \infty} \dfrac{a^n}{1+a^n} = \lim_{n \to \infty} \dfrac1{1+\left(\dfrac1a \right)^n} = \dfrac1{1+\lim_{n \to \infty} \left(\dfrac1a \right)^n} = 1$$

Para $a=-1$ para incluso $n$ tenemos $$\dfrac{(-1)^{2k}}{1+(-1)^{2k}} = \dfrac12$$

Para $a=-1$ para impar $n$ explota.

Para $a=-1+\epsilon$ para impar $n$ tenemos $$\lim_{\epsilon \to 0^+} \dfrac{(-1+ \epsilon)^{2k+1}}{1+(-1+ \epsilon)^{2k+1}} = -\infty$$

Para $a=-1-\epsilon$ para impar $n$ tenemos $$\lim_{\epsilon \to 0^+} \dfrac{(-1- \epsilon)^{2k+1}}{1+(-1- \epsilon)^{2k+1}} = +\infty$$

Answer 2

Pero tienes razón. No has cometido ningún error. Considere: cuando $n$ es grande, $(1/2)^n$ está muy cerca de 0, y $1+(1/2)^n$ es cercano a 1. Entonces su cociente es cercano a 0.

Por ejemplo, tome $n=20$ . Entonces tienes $$f(n) = \frac{0.00000095367431640625}{1.00000095367431640625} = 0.00000095367340691241.$$