Ejemplo / Contraejemplo de Equicontinuidad en el conjunto racional

Question

Dejemos que $h:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ sea una función continua. Supongamos que $(f_{n})$ es una secuencia equicontinua de funciones reales definidas en $[1,2]$ , de tal manera que $|f_{n}(x)|\leq |h(x)|$ para todos $x\in[1,2]$ . $A$ es el conjunto de racionales en $[1,2]$ , $A=\Bbb Q\cap [1,2]$ .

Para las tres afirmaciones siguientes, proporcione un ejemplo práctico o un contraejemplo que demuestre si es verdadero o falso:

1. Si $(f_{n})$ converge puntualmente en $A$ entonces converge puntualmente en $[1,2]$ .
2. Si $(f_{n})$ converge puntualmente en $A$ entonces converge uniformemente en $[1,2]$ .
3. Siempre es posible extraer de $(f_{n})$ una subsecuencia $(g_{n})$ que converge uniformemente en $[1,2]$ .

La definición de EQ y UEQ con la que estoy trabajando es la siguiente:

*Punto de equicontinuidad : Una familia de funciones { ${f_n}$ } es equicontinuo en $x_{0}\in A$ si para cualquier $\epsilon>0$ , $\exists\ \delta>0$ de manera que para todos $n\in\Bbb N$ uno tiene $|f_{n}(x)-f_{n}(x_{0})|<\epsilon$ siempre que $x\in A$ con $|x-x_{0}|<\delta$ .

*Equicontinuidad uniforme : Una familia de funciones { ${f_n}$ } es equicontinuo sobre $A$ si para cualquier $\epsilon>0$ , $\exists\ \delta>0$ de manera que para todos $n\in\Bbb N$ uno tiene $|f_{n}(x)-f(z)|<\epsilon$ para todos $x,z\in A$ para que $|x-z|<\delta$ .

Answer 1

Para demostrar (1) basta con mostrar que $f_n$ que converge puntualmente en un subconjunto denso implica que $f_n(x)$ es Cauchy en todo el espacio, esto será un $\epsilon/3$ prueba basada en la equicontinuidad:

1. Dejemos que $x\in I-A$ y $\epsilon>0$ . Desde la equicontinuidad se tiene una $\delta$ para que $|f_n(x)-f_n(a)|<\epsilon/3$ siempre que $|x-a|<\delta$ . Sea $a\in A$ sea un elemento de este tipo. Considera: $$|f_n(x)-f_m(x)|≤|f_n(x)-f_n(a)|+|f_n(a)-f_m(a)|+|f_m(a)-f_m(x)|$$ Desde $f_n(a)$ converge debe ser una secuencia de Cauchy y existe una $N$ para que siempre que $n,m>N$ $|f_n(a)-f_m(a)|<\epsilon/3$ . Combina esto con la equicontinuidad para obtener: $$|f_n(x)-f_m(x)|<\epsilon$$ para todos $n,m>N$ . Así que $f_n(x)$ es Cauchy y por tanto converge. De ello se desprende que $f$ converge puntualmente.

Así que de (1) hemos aprendido que la convergencia puntual en un conjunto denso implica la convergencia puntual en todas partes si tenemos funciones equicontinuas. El número dos se puede convertir ahora en un "resultado estándar", a saber, que en un espacio compacto un límite equicontinuo de funciones continuas es un límite uniforme. La prueba de ello es la siguiente:

2. Dejemos que $\epsilon>0$ , $x\in I$ . De la convergencia puntual se deduce que existe un $N_x\in \Bbb N$ para que $n>N_x$ implica $|f(x)-f_n(x)|<\epsilon/3$ . Como el límite equicontinuo de las funciones continuas es continuo, tenemos un $\delta>0$ para que $y\in B_\delta(x)$ implica tanto $|f(x)-f(y)|<\epsilon/3$ y $|f_n(x)-f_n(y)|<\epsilon/3$ (esto último es posible gracias a la equicontinuidad). Si lo juntamos da: $$|f(y)-f_n(y)|≤|f(y)-f(x)|+|f(x)-f_n(x)|+|f_n(x)-f_n(y)|<\epsilon$$ Las bolas $B_{\delta_x}(x)$ portada $I$ pero $I$ es compacta, por lo que se puede tomar un número finito de ellas, que sus centros sean $\{x_1,..,x_n\}$ . Definir $N:=\max\{N_{x_1},...,N_{x_n}\}$ . De ello se desprende que cada $y$ de $I$ se encuentra en un $B_{\delta_i}(x_i)$ y así siempre que $n>N$ la desigualdad anterior es válida para cualquier $y\in I$ . Esto significa que el límite es uniformemente continuo.

La última afirmación es el teorema de Azerlá Ascoli:

Teorema Si $f_n$ es un límite uniforme (es decir $\exists M, |f_n(x)|<M$ para todos $x$ ) secuencia equicontinua de funciones continuas sobre un subconjunto compacto de $\Bbb R^n$ entonces existe una subsecuencia uniformemente convergente.

En rigor, Azerlá Ascoli tiene otra parte, a saber

Si $f_n$ es una secuencia de funciones continuas sobre un subconjunto compacto de $\Bbb R^n$ para que toda subsecuencia tenga una subsecuencia convergente, entonces $f_n$ es equicontinuo y uniformemente acotado.

Pero la segunda parte no es relevante aquí.