Función holomorfa en dominio acotado.

Question

Dejemos que $\Omega$ sea un dominio acotado de $\mathbb{C}^n$ y $f$ sea una función holomorfa definida en $\Omega$ .

¿Es posible que $L^2$ -norma de $f$ está acotado pero $f$ es ilimitado?

Answer 1

Sí, a menudo es así. El espacio en el que se mira se llama Espacio Bergman a menudo denotado por $A^2(\Omega)$ o $L^2_a(\Omega)$ .

Para dar un contraejemplo consideremos un caso sencillo digamos $\Omega=\mathbb{D}=\{z\in\mathbb{C}: \,|z|<1\}$ - el disco de la unidad.

1. Obsérvese que el espacio de Hardy $H^2=\{f\in L^2(\mathbb{T}):\, f$ es analítico en $\mathbb{D}\}$ (aquí $\mathbb{T}=\partial\mathbb{D}$ es el círculo unitario), normado por la $L^2$ -(véase la observación más abajo) se incluye en el espacio de Bergman porque $$\|f\|_{H^2}^2=\sup_{0 \lt r \lt 1}\int_0^{2\pi}|f(re^{it})|^2\frac{dt}{2\pi}\geq \int_0^1\int_0^{2\pi}|f(re^{it})|^2\frac{dt}{2\pi} dr \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad$$ $$\qquad\qquad\qquad\geq \int_0^1\int_0^{2\pi}|f(re^{it})|^2\frac{dt}{2\pi} rdr =\|f\|_{A^2}^2$$

2. Por la fórmula de Parseval una función analítica $f(z)=\sum a_nz^n$ está en $H^2$ precisamente cuando la secuencia $(a_n)$ está en $\ell^2$ y luego $$\|f\|_{H^2}^2=\sum |a_n|^2$$

3. La combinación de 1. y 2. muestra que $z\mapsto\log(1-z)=\sum_{n\geq1} \frac{z^n}{n}$ pertenece a $A^2$ pero no tiene límites en $z=1$ .

Observación: Para cada $f \in H^2$ existe una función límite $\tilde{f}\in L^2(\mathbb{T})$ tal que $\lim_{r\to1}f(re^{it})=\tilde{f}(e^{it})$ y el $H^2$ -norma de $f$ coinciden con el $L^2$ -norma de $\tilde{f}$ .

Observación 2: La observación 1. anterior puede mejorarse para mostrar $H^p\subset A^{2p}$ que es uno de los pocos teoremas de Hardy-Littlewood (véase 5.11 en P. Duren: Theory of $H^p$ -espacios, 2ª ed. 2000).

Answer 2

Creo que la respuesta es no. Dejemos que $p\in \Omega$ y que $D(p,b)$ sea un disco contenido en $\Omega$ centrado en $p$ . Pasando a coordenadas polares, tenemos

$\|f\|_2 ^2 \geq \int_{D(p,b)} |f(x+iy)|^2 dxdy = \int_0 ^b \int_0 ^{2\pi} |f(re^{i\theta}+p)|^2 r d\theta dr $

$.\geq \int_0 ^b |\int_0 ^{2\pi} f(re^{i\theta}+p)^2 d\theta|r dr$

Observe que

$\int_0 ^{2\pi} f(re^{i\theta}+p)^2 d\theta = \frac{1}{i}\int_0 ^{2\pi} \frac{f(re^{i\theta}+p)^2}{re^{i\theta} + p - p} ire^{i\theta} d\theta = \frac{1}{i} \int_{D(p,r)} \frac{f(z)^2}{z-p} dz = 2\pi f(p)^2$

por el teorema de la integral de Cauchy. Por tanto,

$\int_{D(p,b)} |f(x+iy)|^2 dxdy \geq \pi b^2 |f(p)^2|.$

Así que, $|f(p)|$ está limitada por $\frac{1}{\sqrt\pi b}\|f\|_2$ .

Answer 3

Un ejemplo sencillo sería el siguiente: Sea $\Omega$ sea la mitad derecha del disco unitario y consideremos la función $$f(z):={\rm Log}(z) =\log r + i\phi\ ,\qquad z=r e^{i\phi}, \ 0<r<1, \ |\phi|<{\pi\over2}\ .$$

Answer 4

Sí, existen estas funciones (aunque $n = 1$ ).

El espacio de las funciones holomorfas cuadradas integrables suele llamarse Espacio Bergman , a menudo denotado como $A^2$ . Para un ejemplo concreto de una función no limitada en $A^2$ , dejemos que $\mathbb{D}$ sea el disco unitario, y elija $$ f(z) = \log(1-z) $$ (donde $\log$ denota la rama principal del logaritmo complejo). Entonces, claramente $f$ no tiene límites cerca de $z = 1$ y holomorfo en $\mathbb{D}$ . No es demasiado difícil demostrar que $f \in A^2$ . (El único problema es que está cerca de $z = 1$ y allí $|f| \approx \ln|1-z|$ . Dejaré los detalles como ejercicio).

En el argumento dado por el usuario15464 (local $L^2$ estimaciones), el límite de $|f(z)|$ depende de $b$ -- que es la distancia desde $z$ a $\partial\Omega$ . Esta estimación se dispara como $z \to \partial\Omega$ . Sin embargo, estas estimaciones muestran que las evaluaciones puntuales, es decir, los funcionales $$f \mapsto f(z) $$ son continuas para cada $z \in \Omega$ . Esta observación suele ser el punto de partida en el estudio de los espacios de Bergman. Por ejemplo, el espacio de Bergman es un espacio de Hilbert (bajo el producto interior natural), y por la fórmula de representación de Riesz, para cada $z \in \Omega$ Hay un $B_z \in A^2$ tal que $$f(z) = \int_\Omega f(w)\overline{B_z(w)}\,dw$$ La función $$B(z,w) = \overline{B_z(w)}$$ se llama Núcleo de Bergman de $\Omega$ . Es un buen ejercicio calcular esto para el disco unitario. El resultado resulta ser $$B(z,w) = \frac{1}{(1-z\bar w)^2}$$