Mayor duda en la inducción matemática

Question

Estoy haciendo problemas en la inducción. Lo que sé es:

Primero tenemos que probar el caso Base, es decir $P(n_0)$ debe ser verificado.

En segundo lugar, tenemos que suponer que $P(k)$ es Verdadero que es la Hipótesis inductiva

En tercer lugar tenemos que demostrar $P(k+1)$ es Verdadero utilizando la Hipótesis anterior que da la conclusión.

Pero el siguiente problema me hizo caer en una confusión.

Cuando asumimos $P(k)$ es Verdadero, ¿significa que todos los $P(1),P(2),...P(k-1)$ ¿también es cierto?

Este es el problema:

Demostrar mediante inducción que $10^n-(5+\sqrt{17})^n-(5-\sqrt{17})^n$ es divisible por $2^{n+1}, \:\forall n \in N$

Mi intento:

Obviamente $P(1)$ es cierto.

Supuse que $P(k)$ es cierto: Así que tenemos:

$$10^{k}-(5+\sqrt{17})^{k}-(5-\sqrt{17})^{k}=2^{k+1} Q \to (1)$$ para algunos $Q \in N$

Ahora dejemos que $$P(k+1)=10^{k+1}-(5+\sqrt{17})^{k+1}-(5-\sqrt{17})^{k+1}$$ Utilizando $(1)$ obtenemos

$$\begin{array}{l} P(k+1)=10\left(10^{k}\right)-(5+\sqrt{17})^{k+1}-(5-\sqrt{17})^{k+1} \\ =10\left(2^{k+1} Q+(5+\sqrt{17})^{k}+(5-\sqrt{17})^{k}\right)-(5+\sqrt{17})^{k+1}-(5-\sqrt{17})^{k+1} \\ =5\left(2^{k+2}\right) Q+(5+\sqrt{17})^{k}(5-\sqrt{17})+(5-\sqrt{17})^{k}(5+\sqrt{17})\\ =5(2^{k+2})Q+(5+\sqrt{17})^{k-1}(8)+(5-\sqrt{17})^{k-1}(8)\\ =5(2^{k+2})Q+8P(k-1) \end{array}$$

Ahora, según mi libro, el autor ha tomado $P(k-1)$ como Verdadero y probó el resultado. Así que mi pregunta es: Cuando asumimos $P(k)$ es Verdadero, ¿significa que todos los $P(1),P(2),...P(k-1)$ ¿también es cierto?

Answer 1

No es cierto que $P(k)$ ser cierto implica $P(i)$ es cierto para $i<k$ . Una prueba de inducción habitual hace lo siguiente después del caso base: $$P(k) \implies P(k+1)$$

Pero, la técnica que el autor ha utilizado se suele denominar fuerte inducción . Funciona de acuerdo con lo siguiente: $$P(i) \space (\forall \space i \leqslant k) \implies P(k+1)$$ Se puede utilizar cuando se necesita algo más que el caso anterior para resolver un problema. La razón por la que funciona es similar al funcionamiento de la inducción.

Esencialmente, supones que todos los casos anteriores son verdaderos, y utilizas algunos (o todos) para demostrar que el siguiente caso es verdadero. Ahora, el caso que has demostrado pasa a formar parte de la lista de casos iniciales que has demostrado y así sucesivamente (de forma similar al efecto dominó de la inducción).