Encuentre una base ortogonal de ${\rm I\!R}^3$ que contiene el vector $v=\begin{bmatrix}1\\1\\1\end{bmatrix}$ .
Quiero resolver esto sin usar el producto cruzado o el proceso G-S. Por favor, miren mi solución y díganme si lo he hecho bien.
Dejemos que $u$ sea un vector arbitrario $u=\begin{bmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{bmatrix}$ que es ortogonal a $v$ .
Así,
$v\ \bullet\ u = x_1 + x_2 + x_3 = 0$
$0= x_1 + x_2 + x_3$
$x_1= -x_2 -x_3$
Cualquier vector de la forma $\begin{bmatrix}-x_2 -x_3\\x_2\\x_3\end{bmatrix}$ será ortogonal a $v$ .
Dejemos que $x_2 = x_3 = 1$
Así que, $u=\begin{bmatrix}-2\\1\\1\end{bmatrix}$ es ortogonal a $v$ .
Ahora tenemos dos vectores ortogonales $u$ y $v$ .
Poner $u$ y $v$ como filas de una matriz, llamada $A$ . Encuentre una base para $A^\bot = null(A)^T$ :
Digresión: He memorizado que cuando se busca una base de $A^\bot$ En este caso, ponemos los vectores ortogonales como filas de una matriz, pero no sé no sé por qué los ponemos como filas y no como columnas. ¿Alguien puede explicar la intuición?
$A=\begin{bmatrix}1&1&1\\-2&1&1\end{bmatrix} \sim \begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&1\end{bmatrix}$
$x_3 = x_3$
$x_2 = -x_3$
$x_1 = 0$
Una base para $null(A)$ o $A^\bot$ con $x_3$ = 1 es: $(0,-1,1)$ . Llama a este $w$ .
Por lo tanto, $w$ es ortogonal a ambos $u$ y $v$ y es una base que abarca ${\rm I\!R}^3$ .
Por definición de vectores ortogonales, el conjunto $[u,v,w]$ son linealmente independientes.
¿Es esto correcto? Si es así, ¿cuál es una forma más eficiente de hacerlo? Si no es así, ¿cómo se hace teniendo en cuenta que no puedo utilizar el proceso G-S de productos cruzados?
