Por qué $f(x,y)=y^2$ en lugar de $f(y)=y^2$ ?

Question

Si tengo una función $f(x,y)=y^2$ ¿es equivalente a $f(y)=y^2$ ?

¿Hay alguna diferencia?

Es $f(x,y)=y^2$ una función multivariable a pesar de no tener $x$ ?

Answer 1

$f(x,y) = y^2$ es una función de dos variables que resulta depender de una sola de ellas. No es lo mismo que $f(y) = y^2$ que es una función de una variable, pero para algunos propósitos puede considerarse equivalente.

Answer 2

$f(x,y)=y^2$ es una función de $\mathbb{R}^2$ a $\mathbb{R}$ , mientras que $f(y)=y^2$ es una función de $\mathbb{R}$ a $\mathbb{R}$ Así que no, no son la misma función.

Ver este respuesta reciente a lo que debe ser cierto para que dos funciones sean equivalentes.

Answer 3

Dejemos que

$$\begin{array}{rcl} f \,\, : & \mathbb R^2 &\to \mathbb R\\ & (x,y) &\mapsto y^2\end{array}$$

y

$$\begin{array}{rcl} g \,\, : & \mathbb R &\to \mathbb R\\ & y &\mapsto y^2\end{array}$$

Así, $g$ es el restricción de $f$ a la $y$ -eje $\{(0,\gamma) \mid \gamma \in \mathbb R\}$ y $f$ es el extensión de $g$ a $\mathbb R^2$ . En cuanto a los gráficos de $f$ y $g$ el gráfico de $g$ es el proyección de la gráfica de $f$ en el $yz$ -y la gráfica de $f$ es el elevación de la gráfica de $g$ a lo largo de un eje paralelo al $x$ -eje.