Pregunta sobre la parametrización de la frontera de un rectángulo en $\;\mathbb R^2\;$

Question

Estoy interesado en construir un vector normal unitario en el límite de un rectángulo en $\;\mathbb R^2\;$ y así encontré estos pasos:

Sin embargo, me está costando mucho completar el paso 0. ¿Cómo puedo parametrizar el rectángulo en $\;\mathbb R^2\;$ ?

Por ejemplo, sé que si tuviera un círculo en $\;\mathbb R^2\;$ entonces mi ecuación en el plano de coordenadas sería : $\;(x-x_0)^2+(y-y_0)^2=r^2\;$ y, por lo tanto, para parametrizar esta ecuación, pondría $\;y-y_0=rcost\;,\;x-x_0=rsint\;$ .

¡Estoy buscando algo similar para el caso del rectángulo pero debe ser tan obvio que nadie lo menciona! ¿Cuál es la ecuación paramétrica de un rectángulo en 2 dimensiones?

Cualquier ayuda sería valiosa... Gracias de antemano.

Answer 1

Si el rectángulo es $a\leq x\leq b$ , $c\leq y\leq d$ su patametrización en la frontera: en la parte inferior $y=c,\, x=t, a\leq t\leq b$ ; en la parte superior $y=d,\, x=t, a\leq t\leq b$ ; en el lado izquierdo $x=a,\, y=t, c\leq t\leq d$ y en el lado derecho $x=b,\, y=t, c\leq t\leq d$ , donde $t$ es el parámetro.

Answer 2

No todas las "curvas" en $\mathbb R^2$ admite un vector normal, y no todas las "curvas" en $\mathbb R^2$ admite una "parametrización". Por ejemplo, pictóricamente no es posible encontrar un vector normal en las cuatro esquinas de su rectángulo $R$ . De la misma manera:

No hay una parametrización $\gamma : \mathbb S^1 \to R$ para que $\gamma'(t)$ es distinto de cero para todos los $t$ .

Para demostrar esto, para simplificar supongamos que el rectángulo $R$ tiene las cuatro esquinas $(0,0), (1,0),(0,1),(1,1)$ . Afirmo que si $\gamma : (-\epsilon, \epsilon) \to R$ es diferenciable, uno a uno y $\gamma (0) = (0,0)$ entonces $\gamma'(0) = 0$ .

Escribe $\gamma (t) = (\gamma_1(t), \gamma_2(t))$ . Tenemos que mostrar $$\gamma_1'(0) = \gamma_2'(0) = 0.$$

Desde $\gamma$ es uno a uno, podemos suponer que $\gamma(s)$ se encuentra en los lados horizontales para $s>0$ y $\gamma(u)$ se encuentra en los lados verticales cuando $u<0$ . Así que $\gamma_2(s) = 0$ para $s>0$ y $\gamma_1(u) = 0$ para $u<0$ . Esto implica

$$ \gamma_2(0) = \lim_{s\to 0^+} \frac{\gamma_2(s) - \gamma_2(0)}{s-0} = 0$$

y de manera similar $\gamma_1'(0) = 0$ .