Límite inferior de la probabilidad de la suma de variables aleatorias

Question

Supongamos que las variables aleatorias $X_i, i = 1,2,\ldots,n$ son i.i.d. Supongamos $0 \leq X_i \leq 4n^2$ con probabilidad 1 para todos los $i$ . Supongamos que $\mathbb{E}(X_i) \geq n$ para todos $i$ . Demostrar que $$\mathbb{P}(X_1 + X_2 + \cdots + X_n \geq n^2/2) \geq \frac{1}{20}.$$

Pista: ¿Hay alguna desigualdad de límite inferior que puedas probar aquí? ¿Qué necesitas calcular? ¿Cómo puedes utilizar las hipótesis?

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Probé algo que parecía funcionar al principio, pero no me llevó a ninguna parte. Esto es lo que hice, considerando sólo el caso en que $n$ está en paz:

Definir $S := X_1 + X_2 + \cdots + X_n$ . Entonces $\mathbb{E}(S) \geq n^2$ . Tenemos \begin{align*} n^2 \leq \mathbb{E}(S) &\leq \mathbb{P}(0 \leq S) + \mathbb{P}(1 \leq S) + \cdots + \mathbb{P}(4n^3 - 1 \leq S)\\ &= \left(\mathbb{P}(0 \leq S) + \cdots + \mathbb{P}(n^2/2 - 1 \leq S) \right) \\ &\qquad {}+ \left(\mathbb{P}(n^2/2 \leq S) + \cdots + \mathbb{P}(4n^3 - 1 \leq S) \right) \\ &= n^2 + (4n^3 - n^2/2)\mathbb{P}(n^2/2 \leq S) \end{align*} Esto da como resultado $$\frac{1}{8n-1} \leq \mathbb{P}(n^2/2 \leq S)$$

Lo cual es un resultado bastante bonito, pero no es lo que pide el problema. Cualquier ayuda será muy apreciada.

Answer 1

Estoy perdido en cuanto a una desigualdad que termine siendo libre de $n$ . Sin embargo, en mis intentos se me ocurrió lo que parece ser un contraejemplo de lo que intentas demostrar.

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Suponiendo que $0\leq X_i\leq 4n^2$ es no un error tipográfico:

Dejemos que $\mu_n=E[S],p_n:=P(S\geq n^2/2), \;U:=E[S|S\geq n^2/2,\mu_n>n^2],\; L:=E[S|S<n^2/2,\mu_n>n^2]$

Lo sabemos: $E[S_n]=pU+(1-p)L\geq n^2$ para cualquier distribución por simple linealidad de la expectativa.

Esto implica:

$p_n\geq\frac{n^2-L}{U-L}:U\in[n^2,4n^3],L\in[0,n^2/2)$

Si intentamos minimizar wrt $U,L$ el límite inferior de $p_n$ se consigue cuando $U=4n^3,L\to n^2/2$

Así, (forzando $E[S]=n^2$ , $U=4n^3$ y dejar que $L\to n^2/2$ ):

$p_n\to\frac{n^2}{8n^3-n^2}\xrightarrow{n\uparrow}0 \implies \exists(c,L,U):p_n<\frac{1}{20}\forall n>c$

Nótese que la solución anterior es consistente con las hipótesis del teorema:

$H_1:E[X_i]=n\geq n$

$H_2:X_i \in [0,4n^2]$

...pero hemos llegado a una solución que viola el teorema. Parece que algo falla en los supuestos y/o en el teorema.

En particular, parece que $E[S]\geq n^2$ no es una restricción lo suficientemente fuerte como para garantizar que la menor probabilidad posible sea $\frac{1}{20}$ .

Ahora, si $E[X_i]\geq n^2$ entonces tienes algo, ya que $E[S] \to 1/8 > 1/20$