Me pregunto cuál es el estado del arte de las aproximaciones polinómicas y racionales a funciones continuas/holomorfas en $\mathbb{C}$ . Los dominios particulares de interés son la bola unitaria cerrada $\overline{\mathbb{D}}$ y el cuadrado $S:=[-1,1]+[-1,1]i$ .
El primer escenario de mayor interés es el siguiente.
Dado $f:\overline{\mathbb{D}}\to\mathbb{C}$ continua junto con la precisión $\varepsilon$ ¿existe una función $c(f,\varepsilon)$ o incluso $c(f)$ de tal manera que se puede calcular $g\in\mathbb{C}[z]$ con cada una de las siguientes participaciones?
- $\|f-g\|_{L^\infty(\overline{\mathbb{D}})}<\varepsilon$ ,
- $\|g\|_{L^\infty(S)}<c(f,\varepsilon)$ [es decir, $g$ extiende $f$ sin explotar], y
- $\deg g$ se minimiza (idealmente $O(\log\frac{1}{\varepsilon})$ o $O(\mathrm{poly}\log\frac{1}{\varepsilon})$ ).
El segundo ajuste de mayor interés es relajar $g$ a sólo ser continua.
Dado $f:\overline{\mathbb{D}}\to\mathbb{C}$ continua junto con la precisión $\varepsilon$ ¿existe una función $c(f,\varepsilon)$ o incluso $c(f)$ de tal manera que se puede calcular $g\in\mathbb{C}[x,y]$ con cada una de las siguientes participaciones?
- $\|f(z)-g(\mathrm{re}z,\mathrm{im}z)\|_{L^\infty(\overline{\mathbb{D}})}<\varepsilon$ ,
- $\|g(\mathrm{re}z,\mathrm{im}z)\|_{L^\infty(S)}<c(f,\varepsilon)$ [es decir, $g$ extiende $f$ sin explotar], y
- $\deg g$ se minimiza (idealmente $O(\log\frac{1}{\varepsilon})$ o $O(\mathrm{poly}\log\frac{1}{\varepsilon})$ ).
Para estos dos problemas, lo ideal sería que existiera alguna versión plana de (la versión constructiva de) el teorema de Jackson, o el algoritmo de Remez, pero cada uno modificado para facilitar la extensión.
Un problema relacionado es el siguiente.
Dado $f:\overline{\mathbb{D}}\to\mathbb{C}$ continua junto con la precisión $\varepsilon$ ¿existe una función $\tilde{c}(f,\varepsilon)$ o incluso $\tilde{c}(f)$ de tal manera que se puede calcular $g,h\in\mathbb{C}[z]$ con cada una de las siguientes participaciones?
- $\left\|f-\frac{g}{h}\right\|_{L^\infty(\overline{\mathbb{D}})}<\varepsilon$ ,
- $\inf\limits_{z\in S}\lvert h(z)\rvert>\tilde{c}(f,\varepsilon)$ [para que en el escalamiento $g$ y $h$ por el mismo factor para que estén bien limitados en $S$ no compensamos en exceso enviando $h$ demasiado cerca de 0], y
- $\deg g$ y $\deg h$ se minimizan (idealmente $O(\log\frac{1}{\varepsilon})$ o $O(\mathrm{poly}\log\frac{1}{\varepsilon})$ ).
¿Se sabe algo efectivo sobre alguno de estos problemas (o relacionados)? Estoy teniendo algunos problemas para hacerme una idea completa de la literatura, ya que la mayoría de los resultados parecen centrarse en el caso de $\mathbb{R}$ . La arruga de $\overline{\mathbb{D}}\subsetneq S$ parece ser también algo que hace que esto difiera significativamente de la literatura.
Por ejemplo, para esta última, parece que los aproximantes de Padé cumplen (1) y (3) a través de funciones racionales (no he visto ningún comentario en un sentido u otro hacia (2)), pero no he encontrado una declaración explícita de la desaparición de $L^\infty$ en cuanto al grado de numerador/denominador, y la mayor parte de la discusión que veo sobre ellos parece centrada en $\mathbb{R}$ (aunque Scholarpedia y esta encuesta discutir $\mathbb{C}$ aunque sin límites explícitos).
Además, por desgracia, este artículo bastante completo de la Enciclopedia de Matemáticas (aunque principalmente sobre los resultados de la existencia más que sobre las formas efectivas de calcular las aproximaciones) está casi 40 años desactualizado, por lo que si existe algo análogo de los últimos 20 o más años también podría ser muy útil.
