¿Por qué son importantes las desigualdades y para qué sirven?

Question

Actualmente estoy estudiando un curso de matemáticas en mi universidad y no consigo entender el concepto de desigualdades.

Lo que me preocupa es que, como se dice, "la desigualdad del triángulo importa porque muchos otros teoremas dependen de ella". Pero no tengo ni idea de por qué importa la desigualdad del triángulo, por qué importa la desigualdad de bernoullie o por qué importan las desigualdades de la función pecado.

Agradecería que alguien explicara todo esto. Se agradecerían mucho los ejemplos prácticos.

Answer 1

Premisa: esta es una respuesta realmente general y más "intuitiva" que práctica.

¿Importa que te diga que la cantidad de dinero que tienes en el banco es positiva? A veces, aunque no podamos dar un valor exacto a una variable, sigue siendo útil saber que es mayor (o menor) que alguna cantidad. En la vida real, podemos reaccionar de forma diferente si algo es mayor o menor que un determinado valor (por ejemplo, si la temperatura de tu cuerpo es superior a 41 grados centígrados, entonces SÍ tienes que ir a urgencias). Del mismo modo, en matemáticas, si alguna variable es mayor que otra, entonces podría desencadenarse algún efecto particular.

Un ejemplo bastante sencillo: cuando se saca una raíz cuadrada, es necesario que el número no sea negativo (suponiendo que se trate de números reales). Si la cantidad bajo la raíz cuadrada es una expresión complicada $f(x)$ que implica, por ejemplo, una variable $x$ entonces es difícil averiguar si un valor particular de $x$ llevará a una raíz cuadrada significativa. Para no tener que evaluar esta complicada expresión cada vez que se le da un nuevo valor a $x$ puede manipular la expresión $f(x)\geq 0$ para tratar de obtener algunos límites directamente en $x$ . Por ejemplo, si puedes llegar a algo como $a\leq x \leq b$ con $a$ y $b$ dado, entonces es más fácil verificar si un valor dado para $x$ es "aceptable".

A veces, en matemáticas no es fácil establecer "directamente" que una cantidad dada satisface una determinada desigualdad. Por lo tanto, a menudo utilizamos desigualdades "intermedias", al igual que a veces se utiliza la fórmula cuadrática como "paso intermedio" al resolver una ecuación compleja.

Answer 2

Un ejemplo de la desigualdad del triángulo, y la submultiplicatividad de un C $^\star$ -norma, siendo útil el siguiente teorema:

Dejemos que $\mathcal{A}$ sea un C $^\star$ -Álgebra. Si $a \in \mathcal{A}$ y $\|a \|<1$ entonces $1- a$ es invertible con $$(1-a)^{-1} = \sum_{n=0}^\infty a^n.$$

Con la desigualdad del triángulo tenemos $$\| \sum_{i=0}^n a^i - \sum_{i=0}^m a^i\| \le \sum_{i=n+1}^m \| a^i \| \le \sum_{1=n+1}^m \| a\|^i \underset{\to}{n,m \to \infty} 0. $$

Así, en particular, el elemento $\sum_{i=0}^\infty a^i$ existe en $\mathcal{A}$ y tenemos $$ \| 1 - (1-a)\sum_{i=0}^n a^i\| = \| 1 - (1 - a^{n+1} ) \| = \| a^{n+1} \| \le \| a \|^{n+1} \to 0.$$ Así, en efecto $(1- a)^{-1}= \sum_{i=0}^\infty a^i $ .

Answer 3

Para dar un ejemplo sencillo de cuándo una desigualdad puede ser útil, considere la secuencia $$\left\{\frac{\sin(\frac{1}{n})}{n}\right\}_{n = 1}^{\infty}$$

Cuando vi por primera vez esta secuencia no tenía ni idea de cómo demostrar si convergía o no. La forma clásica de demostrar que efectivamente converge es darse cuenta de que $$\left|\sin(\frac{1}{n})\right| \leqslant 1, \text{ for all } n \in \mathbb{N}.$$

De este modo, se puede delimitar la secuencia original de la siguiente manera,

$$\frac{-1}{n} \leqslant \frac{\sin(\frac{1}{n})}{n} \leqslant \frac{1}{n}, \text{ for all } n \in \mathbb{N}$$

y ahora es bastante intuitivo que la secuencia converge a $0$ y, de hecho, se deduce del teorema del apretón.

Quizá sea un ejemplo demasiado simple para ser útil, pero creo que pone de manifiesto el uso típico de las desigualdades en el análisis. Lo que realmente necesitamos para demostrar que esta secuencia converge a $0$ es una forma de "controlar" la secuencia cuando $n$ empieza a ser grande. Controlar directamente esta secuencia sería difícil ya que $\sin(\frac{1}{n})$ varía mucho como $n$ se hace grande, pero en su lugar podemos utilizar las desigualdades procedentes del límite de $\sin$ para controlar la secuencia, y esto lo hace mucho más fácil.