Resolver para $x$ utilizando la función W de Lambert $ \frac{\ln(1+bx)}{x} = a$

Question

Pregunta: Resolver para $x$ utilizando la función W de Lambert

$$ \frac{\ln(1+bx)}{x} = a$$

He llegado hasta aquí:

$$ \frac{\ln(1+bx)}{x} = a$$

$$ \ln(1+bx) = ax $$

$$ 1+bx = e^{ax} $$

Atascado cuando se utiliza la función W de Lambert

Answer 1

$$1 + bx = e^{ax}$$ Toma $b$ común y multiplicar todo por $e^{-ax}$ para conseguirlo, $$\left(\frac{1}{b} + x\right)be^{-ax} = 1$$ Dividir todo por $b$ y multiplicar todo por $e^{-\frac{a}{b}}$ para conseguirlo, $$\left(\frac{1}{b} + x\right)e^{-ax}e^{-\frac{a}{b}} = \frac{1}{b}e^{-\frac{a}{b}} \Rightarrow \left(\frac{1}{b} + x\right)e^{-a\left(x + \frac{1}{b}\right)} = \frac{1}{b}e^{-\frac{a}{b}}$$ Multiplique todo por $-a$ para conseguirlo, $$-a\left(x + \frac{1}{b}\right)e^{-a\left(x + \frac{1}{b}\right)} = -\frac{a}{b}e^{-\frac{a}{b}}$$ Tenga en cuenta que lo anterior está en la forma $ye^y = c$ Por lo tanto $y = W(c)$ , $$-a\left(x + \frac{1}{b}\right) = W\left(-\frac{a}{b}e^{-\frac{a}{b}}\right)$$ Simplemente para $x$ nos encontramos con que, $$x = -\frac{1}{a}W\left(-\frac{a}{b}e^{-\frac{a}{b}}\right) - \frac{1}{b}$$

Answer 2

Comience con la ecuación

$$1+bx=e^{ax}$$

Entonces, dejemos que $y=1+bx$ para que

$$(-ay/b)e^{-ay/b}=(-a/b)e^{-a/b}$$

Por lo tanto, tenemos

$$=W\left((-a/b)e^{-a/b}\right)=-ay/b$$

Resolver para $y$ encontramos

$$y=-\frac ba W\left((-a/b)e^{-a/b}\right)$$

Por último, sustituyendo de nuevo por $x$ rinde

$$x=-\frac{1+\frac ba W\left((-a/b)e^{-a/b}\right)}{b}$$

Answer 3

Poner $$y=1+bx$$

¡y simplificar! Necesitarás otro cambio de variables que deberías ser capaz de averiguar. Ver aquí para problemas relacionados.