Las secciones de una acción polar son totalmente geodésicas

Question

Esta pregunta es un reenvío de la siguiente: https://math.stackexchange.com/questions/4195805/sections-of-a-polar-action-are-totally-geodesic . He decidido publicarlo aquí porque parece que no ha tenido mucha repercusión allí.

Supongamos que $G\curvearrowright M$ es una acción isométrica de un grupo de Lie sobre una variedad completa de Riemann $M$ y suponer que es polar. Esto significa que la acción es propia y existe una submanifold cerrada (por lo tanto completa) embebida $\Sigma\subseteq M$ (llamada sección) que encuentra todas las órbitas ortogonalmente. Es bien sabido que $\Sigma$ es totalmente geodésico, pero no he encontrado una prueba convincente de este hecho.

Hay un caso especial en el que la última afirmación es fácil de demostrar: la segunda forma fundamental desaparece en puntos regulares (y excepcionales). En efecto, dada cualquier $p\in \Sigma$ tal que $G\cdot p$ tiene una dimensión máxima, $v\in T_{p}(\Sigma)=\nu_{p}(G\cdot p)$ y $\xi\in T_{p}(G\cdot p)$ podemos encontrar un elemento $X$ en el álgebra de Lie $\mathfrak{g}$ de $G$ tal que

$$\xi=X^{*}(p), \quad X^{*}(q)=\dfrac{d}{dt}\bigg|_{t=0}\operatorname{Exp}(tX)\cdot q.$$

El campo vectorial $X^{*}$ es Killing, por lo que su derivada covariante es antisimétrica. Sea $\mathbb{II}$ sea la segunda forma fundamental de $\Sigma$ . Entonces $\mathbb{II}(v,v)$ es tangente a $G\cdot p$ y $\langle \mathbb{II}(v,v),\xi \rangle=-\langle v,\nabla_{v}X^{*} \rangle=0$ Así que $\mathbb{II}(v,v)=0$ . Polarizando, obtenemos $\mathbb{II}=0$ .

El argumento habitual para demostrar que las secciones son totalmente geodésicas en todos los puntos gira en torno al hecho de que los puntos regulares son densos en $\Sigma$ . Mi problema es que todas las pruebas que he encontrado parecen carecer de detalles cruciales para ello. Aquí hay algunos ejemplos:

1. En "Lie Groups and Geometric Aspects of Isometric Actions", de Alexandrino y Bettiol, se afirma en el ejercicio 4.9 que la densidad se desprende del Lemma de Kleiner (cf. Lemma 3.70), pero no consigo la conexión entre el lema y este hecho.
2. En "Critical Point Theory and Submanifold Geometry", de Palais y Terng, los autores afirman que la densidad se deduce de la teoría de las sumersiones riemannianas, sin dar más detalles.
3. En "Polar Manifolds and Actions", de Grove y Ziller, los autores afirman que los puntos singulares están aislados a lo largo de cualquier geodésica, debido al Teorema de la Rodaja. Esto se debe a que si $\gamma$ es cualquier geodésica de $\Sigma$ y $t_{0}$ se encuentra en el cierre de $\{ t\in \mathbb{R}\colon \gamma(t)\in M_{R} \}$ entonces $\gamma(t_{0}-\varepsilon)$ y $\gamma(t_{0}+\varepsilon)$ tienen la misma isotropía para un tamaño suficientemente pequeño $\varepsilon>0$ (de nuevo, a causa del Teorema de la Corta), pero no entiendo por qué es así.
4. Otro método de demostración se propone en el libro "Submanifolds and Holonomy", de Berndt, Console y Olmos. Tengo una solución (casi completa), que necesita demostrar el siguiente hecho crucial: si $p\in \Sigma$ y hay un subconjunto abierto $\Omega\subseteq \Sigma$ tal que todas las órbitas de los puntos en $\Omega$ tienen el mismo tipo (no principal), entonces $T_{p}(\Sigma)$ está fijada puntualmente por la representación de las rodajas. Si alguien pudiera dar una prueba de este último hecho, también lo aceptaría como respuesta.

¿Podría alguien ampliar alguno de los métodos de prueba propuestos anteriormente (preferiblemente el primero o el tercero), o dar una referencia a una prueba detallada del hecho de que los puntos regulares son densos?

Gracias de antemano.

Answer 1

Intentaré responder a su pregunta planteada en (4). A partir de ahora, $G$ es un grupo de Lie que actúa de forma adecuada e isométrica en una variedad riemanniana conectada $M$ . Primero, necesitamos un poco de preparación.

Es un hecho. Dejemos que $Q \subseteq M$ sea una órbita de $G$ . Existe $\varepsilon > 0$ tal que el mapa exponencial está definido en $N^\varepsilon Q$ y lo envía difeomórficamente a una vecindad de $Q$ que denotamos $U^\varepsilon Q$ (aquí $NQ$ es el haz normal de $Q$ y $N^\varepsilon Q$ denota el subconjunto de vectores en él de longitud $< \varepsilon$ ). Teniendo en cuenta cualquier $\varepsilon$ y $p \in Q$ escribimos $S^\varepsilon_p$ para $\exp(N^\varepsilon_p Q)$ . De ello se desprende que $S^\varepsilon_p$ es un trozo en $p$ .

Este es un caso especial del teorema de la vecindad tubular, cuando nuestra submanifold es homogénea, lo que significa que para cualquier $p, q \in Q$ existe una isometría $\varphi \in I(M)$ avec $\varphi(Q) = Q$ que envía $p$ a $q$ . Generalmente, a menos que $Q$ es compacto, tenemos que permitir que nuestro barrio tubular tenga un grosor variable, pero si $Q$ es homogénea, podemos hacer que la vecindad sea uniforme. Este es el contenido del ejercicio 2.11.2 del libro "Submanifolds and Holonomy" que mencionas en tu pregunta (ver también la definición 6.2 en Notas de Michor ). Puedo esbozar una prueba aquí si es necesario.

Acordemos ahora que siempre que digamos la palabra "rebanada", nos referimos a una rebanada de la forma $S^\varepsilon_p$ como en el caso anterior. A continuación, un sencillo pero vital

Corolario. Dejemos que $p \in M$ sea cualquiera, y que $S^\varepsilon_p$ sea un trozo en $p$ . Entonces $G_q \subseteq G_p$ para cualquier $q \in S^\varepsilon_p$ .

Prueba. Tome cualquier $\varphi \in G_q$ . Como las isometrías conmutan con el mapa exponencial, $\varphi(S^\varepsilon_p) = S^\varepsilon_{\varphi(p)}$ . Estos dos cortes tienen un punto en común, a saber $\varphi(q) = q$ para que coincidan, es decir $\varphi$ conserva $S^\varepsilon_p$ . Pero $G \cdot p \cap S^\varepsilon_p = \{p\}$ Así que $\varphi$ conserva $p$ . $\square$

Ahora suponemos que $M$ es completa y la acción de $G$ es polar. Sea $\Sigma$ ser una sección. Permítanme comentar aquí que algunos autores sólo exigen que una sección sea una submanifold completa inmersa, no necesariamente cerrada o incrustada (por ejemplo, C. Gorodski lo hace en este documento ). Según tengo entendido, tal patología puede ocurrir, por ejemplo, para ciertas acciones polares sobre espacios simétricos de tipo compacto. En cualquier caso, todo funciona incluso para una definición tan general porque cualquier submanifold inmerso es localmente (¡en su propia topología!) un incrustado. Supongamos, pues, que existe un subconjunto abierto $\Omega \subset \Sigma$ formado por puntos no regulares del mismo tipo. WLOG, podemos suponer $\Omega$ es un submanifold incrustado de $M$ . Escoge $p \in \Omega$ y que $S^\varepsilon_p$ sea un trozo en $p$ . Encogimiento $\Omega$ si es necesario, podemos suponer $\Omega \subseteq U^\varepsilon Q$ , donde $Q = G \cdot p$ . A posteriori , $\Omega$ simplemente radica en $S^\varepsilon_p$ porque se cruza con $Q$ ortogonalmente y es totalmente geodésico, pero no lo sabemos en este momento, por lo que necesitamos "proyectar" de alguna manera $\Omega$ a $S^\varepsilon_p$ . Considere el mapa $\pi \colon G \times S^\varepsilon_p \twoheadrightarrow U^\varepsilon Q, (g, q) \mapsto gq$ . Se trata de una inmersión suryectiva suave y, de hecho, no es más que un cociente por la acción correcta libre

$$ G_p \curvearrowright G \times S^\varepsilon_p, \quad h \cdot (g,q) = (gh,h^{-1}q). $$

En otras palabras, $\pi$ es un director $G_p$ -(de hecho, es una de las principales propiedades de las rodajas que $\pi$ realiza $U^\varepsilon Q$ como $G \times_{G_p} S^\varepsilon_p = (G \times S^\varepsilon_p)/G_p$ que es el haz de fibras sobre $G/G_p \cong Q$ con una fibra $S^\varepsilon_p$ asociado al director $G_p$ -bundle $G \twoheadrightarrow G/G_p \cong Q$ ). Nuestro haz principal $\pi$ puede restringirse al submanifold $\Omega$ de $U^\varepsilon Q$ :

$$ \widehat{\pi} \colon \; \pi^{-1}(\Omega) \twoheadrightarrow \Omega. $$

Claramente, $\widehat{\pi}$ es un director $G_p$ -en su propio derecho. En particular, es una inmersión suryectiva suave, que usaremos en un segundo. Ahora es el momento de utilizar el corolario anterior. Afirmo que si $(g,q), (g',q') \in \pi^{-1}(\Omega)$ se encuentran sobre el mismo punto en $\Omega$ entonces $q = q'$ . De hecho, desde que $q \in S^\varepsilon_p$ tenemos $G_q \subseteq G_p$ por el corolario anterior. Por otro lado, $q$ tiene el mismo tipo de órbita que $gq = \pi(g,q) \in \Omega$ que, por nuestra suposición, coincide con el tipo de órbita de $p$ . Por definición, significa que $G_q$ y $G_p$ son conjugados, por lo que deducimos que $G_q = G_p$ . Pero $(g',q')$ y $(g,q)$ difieren en algún elemento $h$ de $G_p = G_q$ : $(g',q') = (gh, h^{-1}q) = (gh, q)$ por lo que la afirmación se deduce. Ahora, consideremos el mapa compuesto

$$ \pi^{-1}(\Omega) \hookrightarrow G \times S^\varepsilon_p \twoheadrightarrow S^\varepsilon_p. $$

Acabamos de demostrar que es constante en las fibras de $\widehat{\pi}$ por lo que, por la propiedad característica de las inmersiones supletorias suaves, es un factor a través de $\widehat{\pi}$ a un mapa suave $f \colon \Omega \to S^\varepsilon_p$ . Uno comprueba fácilmente que $f$ es una inmersión inyectiva. Este mapa $f$ es nuestra "proyección" deseada de $\Omega$ a $S^\varepsilon_p$ . Escribe $\Omega_1 \subseteq S^\varepsilon_p$ para la imagen de $f$ . Como ya hemos demostrado en la afirmación anterior, la acción de $G_p$ en $S^\varepsilon_p$ fija $\Omega_1$ en forma de punto, por lo que la representación en rodajas $G_p \curvearrowright N_pQ$ fija $T_p\Omega_1$ también a nivel de puntos. En realidad, como

$$ \dim \Omega_1 = \dim \Sigma = \mathrm{cohom}(G \curvearrowright M), $$

esto es suficiente para derivar una contradicción, ya que el subespacio de invariantes de la representación de la rebanada en un punto no regular no puede ser tan grande, pero permítanme terminar formalmente la prueba mostrando que $T_p\Omega_1 = T_p\Sigma$ . Denote $\mathrm{Lie}(G_p) = \mathfrak{k} \subseteq \mathfrak{g} = \mathrm{Lie}(G)$ y que $\sigma \colon \mathfrak{g} \twoheadrightarrow T_pQ$ representan el diferencial del mapa orbital $G \twoheadrightarrow Q, \; g \mapsto gp,$ en $e$ (envía $X \in \mathfrak{g}$ al valor del correspondiente campo vectorial de Killing en $p$ ). Claramente, $\ker \sigma = \mathfrak{k}$ . Hacemos dos simples observaciones. La primera,

$$ T_{(e,p)} \pi^{-1}(\Omega) = \mathfrak{k} \oplus T_p \Omega_1 \subseteq \mathfrak{g} \oplus N_pQ = T_{(e,p)} (G \times S^\varepsilon_p). $$

En segundo lugar, el diferencial de $\pi$ en $(e,p)$ viene dada simplemente por

$$ \sigma \oplus \mathrm{Id}_{N_pQ} \colon \; \mathfrak{g} \oplus N_pQ \to T_pQ \oplus N_pQ = T_pM. $$

Por lo tanto, este diferencial envía $T_{(e,p)} \pi^{-1}(\Omega)$ en $T_p\Omega_1$ . Pero al mismo tiempo,

$$ d\pi(T_{(e,p)} \pi^{-1}(\Omega)) = d\widehat{\pi}(T_{(e,p)} \pi^{-1}(\Omega)) = T_p \Omega = T_p \Sigma, $$

lo que completa la prueba. $\square$

Observación. Lo que dices en (3) es cierto para las geodésicas en $\Sigma$ es decir, las geodésicas normales a las órbitas, pero es falso para las geodésicas generales. Consideremos la acción de $\mathrm{SO}(2)$ en $\mathbb{R}^3$ mediante rotaciones alrededor del $z$ -eje. Es una acción polar, y sus órbitas singulares no son más que puntos en el $z$ -eje. Así que la geodésica que corre a lo largo del $z$ -El eje se compone enteramente de puntos singulares.

Answer 2

No se trata de una respuesta a la pregunta, sino más bien de completar la respuesta de Ivan Solonenko, aportando más detalles y conocimientos a su prueba.

En primer lugar, estoy dando la prueba de una afirmación que hice en la pregunta original:

Lema 1: Si $\Sigma$ es una sección cuyos puntos regulares no son densos, entonces existe un subconjunto abierto no vacío $\Omega\subseteq \Sigma$ tal que todos los puntos de $\Omega$ tienen el mismo tipo de órbita, y es no principal.

Prueba: Por nuestra suposición, debe haber un subconjunto abierto no vacío $\Xi\subseteq \Sigma$ de manera que ningún punto de $\Xi$ es regular. Sea $p\in \Xi$ y $O\subseteq M$ sea un subconjunto abierto tal que $\Xi=O\cap \Sigma$ . Elegimos $\varepsilon>0$ tal que $S_{p}^{\varepsilon}$ es un corte geodésico en $p$ hay una cantidad finita de tipos de órbita en $G\cdot S^{\varepsilon}_{p}$ y $\operatorname{exp}_{p}(B(0,\varepsilon))\subseteq O$ . La existencia de $\varepsilon$ viene dada por el Teorema 6.16 de las notas de Michor (ya mencionado por Iván). Elija $x\in S^{\varepsilon}_{p}\cap \Sigma$ tal que su tipo de órbita es maximal en $G\cdot S^{\varepsilon}_{p}$ . Ahora, elegimos una rodaja geodésica $S_{x}^{\delta}$ contenida en el subconjunto abierto $G\cdot S_{p}^{\varepsilon}$ . Como ha demostrado Ivan, $G_{q}\subseteq G_{x}$ siempre que $q\in S_{x}^{\delta}$ pero como $S_{x}^{\delta}\subseteq G\cdot S_{p}^{\varepsilon}$ sabemos por maximalidad $G_{x}$ es conjugado a un subgrupo de $G_{q}$ Así que $G_{x}=G_{q}$ . En resumen, todos los puntos del conjunto abierto no vacío $G\cdot S_{p}^{\varepsilon}\cap G\cdot S_{x}^{\delta}$ tienen el mismo tipo de órbita, y no es máxima. Por lo tanto, $\Omega=G\cdot S_{p}^{\varepsilon}\cap G\cdot S_{x}^{\delta} \cap \Sigma$ es el conjunto deseado (nótese que no es vacío ya que contiene $x$ ). $\Box$

A continuación, un resultado conocido al que Iván hace referencia para derivar la contradicción del final:

Lema 2: Dejemos que $p\in M$ sea tal que $G\cdot p$ es una órbita no principal y $V\subseteq \nu_{p}(G\cdot p)$ sea el subespacio de todos los vectores que se fijan bajo la representación en rodajas. Entonces $\dim V$ es estrictamente menor que la cohomogeneidad de la acción $G\curvearrowright M$ .

Prueba: Dejemos que $x\in \nu_{p}(G\cdot p)$ sea un punto regular de la representación en rodajas (que no es fijo ya que la representación en rodajas no es trivial), y escribirlo como $x=y+z$ , donde $y\in V$ y $z\in V^{\perp}$ . La codimensión de $G_{p}\cdot x$ en $\nu_{p}(G\cdot p)$ es igual a la cohomogeneidad de la representación en rodajas, que es también la cohomogeneidad de la acción. Obsérvese que $G\cdot x = \{ y \} + G\cdot z $ Así que $G_{p}\cdot x$ y $G_{p}\cdot z$ tienen la misma dimensión. Además, como $G_{p}$ actúa trivialmente sobre $V$ deducimos que $G_{p}\cdot V^{\perp}=V^{\perp}$ . En definitiva, esto significa que $G_{p}\cdot z \subseteq V^{\perp}$ Así que $\dim V$ es menor o igual que $\operatorname{codim}(G_{p}\cdot z)=\operatorname{cohom}(G\curvearrowright M)$ . Desde $G_{p}\cdot z$ es compacto y $V^{\perp}$ está conectado, ya sea $G_{p}\cdot z=V^{\perp}$ o $\dim G_{p}\cdot z < \dim V^{\perp}$ . Si $G_{p}\cdot z=V^{\perp}$ entonces $V^{\perp}$ es compacto, por lo que debe ser el subespacio cero, contradiciendo el hecho de que $G\cdot p$ es una órbita no principal. Por lo tanto, $\dim V^{\perp}> \dim G_{p}\cdot z$ y tomando codimensiones, $\dim V< \operatorname{cohom}(G\curvearrowright M)$ . $\Box$

Por último, observe que el hecho de que $T_{p}(\Omega_{1})=T_{p}(\Sigma)$ implica que $f_{*p}$ es un mapa inyectivo. Esto es suficiente para lo que necesitamos, ya que aunque no sepamos si $f$ es globalmente una inmersión inyectiva, al reducir $\Omega$ alrededor de $p$ podemos garantizarlo, por lo que no es necesario realizar más cálculos.

Si ve algo incorrecto o incompleto (o si desea que añada más detalles), hágamelo saber.