¿Cómo se relaciona la cohomología etale de los anillos enteros con la cohomología de Galois?

Question

En el artículo de Bloch y Kato en el Festschrift de Grothendieck, y en algunos otros artículos relacionados con la conjetura Bloch-Kato y la ETNC, los grupos de cohomología

$H^i_{\mathrm{et}}(\operatorname{Spec} O_{K, S}, M),$

parecen surgir a menudo, donde $K$ es un campo numérico, $S$ es un conjunto finito de lugares de $K$ y $M$ es un finito o profinito $G_K = \operatorname{Gal}(\overline{K} / K)$ -módulo no ramificado en los primos fuera $S$ .

¿Cómo hay que pensar en estos grupos de cohomología? ¿Cómo se relacionan con los grupos de cohomología continua de Galois, mucho más conocidos (al menos para mí)? $H^i(G_K, M)$ (o los análogos de ramificación restringida $H^i(G_{K, S}, M)$ )? ¿Por qué son las cosas más naturales para trabajar en este contexto?

Answer 1

Mediante los argumentos homológicos habituales (a veces no tan triviales), se puede reducir al caso en que $M$ es un módulo discreto finito sobre un anillo artiniano de característica residual $p$ . En ese caso, creo que quieres $S$ para contener lugares por encima de $p$ también, aunque su $M$ no está ramificado en $p$ así que déjame asumir esto.

El módulo $M$ induce una gavilla etérea $M_{et}$ en $\operatorname{Spec}\mathcal O_{L,S}$ para toda extensión finita $L/K$ . La secuencia espectral UPDATE (que converge a $H^{i+j}(\operatorname{Spec}\mathcal O_{K,S},M_{et})$ ) $$E_{2}^{i,j}=\underset{\longrightarrow}{\operatorname{\lim}}\ H^{i}(\operatorname{Gal}(L/K),H^{j}(\operatorname{Spec}\mathcal O_{L,S},M_{et}))$$ entonces induce isomorfismos entre $E_{2}^{i,0}$ y $H^{i}(\operatorname{Spec}\mathcal O_{L,S},M_{et})$ o en otras palabras $H^{i}(G_{K,S},M)$ es isomorfo a $H^{i}(\operatorname{Spec}\mathcal O_{K,S},M_{et})$ . Así que puedes asumir que estás trabajando con la cohomología de Galois a lo largo de $provided$ se utiliza la cohomología de Galois con ramificación restringida.

Dado que las Conjeturas del Número de Tamagawa se formulan sólo en el entorno anterior, Bloch y Kato podrían haber utilizado la cohomología de Galois en lugar de la cohomología de étale en todas partes sin cambiar nada. En cuanto a tu última pregunta, creo que hay dos razones por las que eligieron la cohomología estal.

En primer lugar, al menos en la época en que escribieron, la cohomología de Galois no era el objeto más familiar de los dos. De hecho, muchos de los resultados clásicos más conocidos recibieron pruebas completas correctas sólo muy tarde (a finales de los años 90 en algunos casos). Por otro lado, SGA (y los trabajos de Bloch y Kato) existían como referencias para la cohomología de étale.

En segundo lugar, utilizando la cohmología étale, se puede formular la TNC sobre bases más generales que $\operatorname{Spec}\mathcal O_{K,S}$ (por ejemplo, cualquier esquema de tipo finito de $\mathbb Z[1/p]$ ). Este tipo de generalización había sido la idea clave de los trabajos anteriores de Kato y Bloch-Kato sobre la teoría de campos de clase superior, por lo que no es de extrañar que decidieran al menos permitir el mismo tipo de generalidad en sus trabajos posteriores.