Escribir un producto como suma de cubos de diferencias

Question

Mientras pensaba en otro problema, acabé preguntándome la siguiente curiosidad: dejemos $A$ sea un conjunto finito de números reales y sea $a,b,c,d,e,f \in A$ . ¿Podemos escribir la expresión

$$3(a-b)(c-d)(e-f)$$

como una suma finita de términos de la forma $(x-y)^3$ , donde $x,y \in A$ ?

Por ejemplo, para los cuadrados siempre podemos escribir $$(a_1-b_1)^2 + (a_1-b_2)^2 - (b_1-b_2)^2 = 2(a_1-b_1)(a_1-b_2),$$ que después de jugar un poco más nos lleva a $$(a_1-b_2)^2 - (a_2-b_1)^2 - (a_1 - b_1)^2 - (a_2-b_2)^2 = 2(a_1-a_2)(b_1-b_2).$$

Del mismo modo, yo haría algo como $$(a-b)^3 + (b-c)^3 + (c-a)^3 = 3(a-b)(b-c)(c-a)$$ para conducir a una identidad para $3(a-b)(c-d)(e-f)$ .

PS. He añadido la etiqueta de álgebra lineal, ya que quizá haya algunos trucos de álgebra ocultos en el fondo (por ejemplo, se puede demostrar la última identidad evaluando un determinante).

Answer 1

No, esto no es posible. Tenga en cuenta que al elegir $a,b,c,d,e,$ y $f$ sean algebraicamente independientes y $A=\{a,b,c,d,e,f\}$ basta con demostrar que $3(a-b)(c-d)(e-f)$ no es una suma finita de términos de la forma $(x-y)^3$ (donde $x$ y $y$ son cada una de las seis variables) como un polinomio formal en las seis variables. Pero ninguna expresión de la forma $(x-y)^3$ tiene un término con tres variables diferentes, mientras que la expresión $3(a-b)(c-d)(e-f)$ (de hecho, cada término tiene tres variables diferentes). Así que $3(a-b)(c-d)(e-f)$ no puede ser una combinación lineal de expresiones de la forma $(x-y)^3$ como un polinomio formal.