Valores propios de una matriz cuasi-circulante

Question

La siguiente matriz apareció en un modelo que estoy construyendo de un sistema dinámico:

$$A= \begin{bmatrix} 1 - \alpha & \alpha/2 & 0 & 0 &\cdots & 0 & 0 & \alpha/2\\ \alpha/2 & 1-\alpha & \alpha/2 & 0 &\cdots & 0 & 0 & 0\\ 0 & \alpha/2 & 1-\alpha & \alpha/2 &\cdots & 0 & 0 & 0\\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots & \vdots\\ 0 & 0 & 0 & 0 &\cdots & \alpha/2 & 1-\alpha & \alpha/2\\ \alpha/2 & 0 & 0 & 0 &\cdots & 0 & \alpha/2 & 1-\alpha\\ \end{bmatrix}$$

Es un matriz estocástica y un matriz circulante y tiene valores iguales en la diagonal.

Me interesan los valores propios de esta matriz, y fue fácil deducirlos de las propiedades enumeradas aquí . Resulta que para el tamaño $n$ ,

$$ \lambda_k = 1 - \alpha \left(1 - \cos\frac{\pi k (n-2)}{n}\right), \qquad k\in\{0,1,\dots,n-1\}, $$

y en el caso límite,

$$ \lim_{n\rightarrow\infty} \lambda_k = 1 - \alpha(1 + (-1)^k) = \begin{cases}1-2\alpha & k \textrm{ even}\\ 1 & k \textrm{ odd}\end{cases} $$

Esto es interesante para mi estudio, porque un valor propio de $1$ que es independiente de $\alpha$ implica un sistema marginalmente estable que no puede estabilizarse por completo.

Ahora, me interesa un sistema ligeramente modificado, representado por la matriz siguiente. Esta matriz es exactamente igual a la anterior, excepto por las primeras y últimas filas, y sigue siendo una matriz estocástica con valores iguales en la diagonal.

Me pregunto si es posible derivar los valores propios de esta matriz, aunque sólo sea para el caso límite.

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$$A^\prime= \begin{bmatrix} 1 - \alpha & \color{red} \alpha & 0 & 0 &\cdots & 0 & 0 & \color{red} 0\\ \alpha/2 & 1-\alpha & \alpha/2 & 0 &\cdots & 0 & 0 & 0\\ 0 & \alpha/2 & 1-\alpha & \alpha/2 &\cdots & 0 & 0 & 0\\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots & \vdots\\ 0 & 0 & 0 & 0 &\cdots & \alpha/2 & 1-\alpha & \alpha/2\\ \color{red} 0 & 0 & 0 & 0 &\cdots & 0 & \color{red} \alpha & 1-\alpha\\ \end{bmatrix}$$

Answer 1

Curiosamente, la teoría espectral de grafos tiene la solución analítica para este problema.

Dejemos que $L$ sea el laplaciano del grafo para el grafo de trayectorias. Entonces $L$ es tri-diagonal con $[1,2,2,...,2,1]$ en la diagonal y $-1$ en las super y sub diagonales. Entonces la matriz $A'$ viene dada por $$A'=I-\frac{\alpha}2 L.$$ Ahora bien, como todo vector en $\mathbb{C}^N$ es una función propia de $I$ cada función propia $\chi_j$ de $L$ con valor propio $\lambda_j$ será una función propia de $A'$ con valor propio $1-\frac{\alpha}{2}\lambda_j$ . Por lo tanto, para resolver el problema enunciado anteriormente, sólo es necesario resolver el problema de valores propios del grafo de la trayectoria. La derivación de la cual se puede encontrar aquí .

Para resumir los resultados, los valores propios de $L$ son $\lambda_j = 2-2\cos(\frac{\pi j}{N})$ y puede obtenerse mapeando el gráfico del ciclo con $2N$ vértices al gráfico de trayectorias con $N$ vértices.

Curiosamente, el gráfico del ciclo con $N$ vértices también da lugar a un método para encontrar los valores y vectores propios de $A$ como $$A=I-\frac{\alpha}2 L_c,$$ donde $L_c$ es el laplaciano del gráfico del ciclo con $N$ vértices. Si dejas que $v_j=\frac{1}{\sqrt{N}}[\omega^{0j}, \omega^{1j}, ..., \omega^{(N-1)j}]^T$ para $\omega=e^{2\pi i/N}$ (es decir $v_j$ es una columna de la matriz DFT) entonces $$L_cv_j = (2\omega^{0}-\omega^{j}-\omega^{-j})v_j = (2-2\cos(2\pi j/N))v_j.$$ Por lo tanto, $Av_j = (1-\alpha(1-\cos(2\pi j/N)))v_j$ (por lo que creo que la indexación en la pregunta puede estar un poco mal) y la matriz DFT forma una base propia ortonormal que diagonaliza $A$ . Para obtener una base propia ortonormal real para $A$ (cuya existencia está garantizada porque $A$ es real y simétrica), tomando combinaciones $w_j=1/2(v_j+v_{N-j})$ y $w_{N-j} = i/2 (v_j-v_{N-j})$ hará el truco.