Operador de Hilbert-Schmidt bien definido

Question

¿Cómo puedo demostrar que los operadores generales de Hilbert-Schmidt como un mapa lineal definido para $p$ y $q$ con la condición como siempre de

$Tf(x) := \int_Y k(x,y)f(y)d\nu (y)$

con $k(x,y)$ $\mu$ x $\nu$ -medible está bien definida para $f\in L^p (\nu)$ ? Agradecería cualquier ayuda :)

Answer 1

Una pista: Aplicar la desigualdad de Holder y Fubini-Tonelli al producto $k(x,\cdot)f$ .