Expectativa de 500 lanzamientos de moneda tras 500 realizaciones

Question

Esperaba que alguien pudiera aportar claridad en torno al siguiente escenario. Se pregunta "¿Cuál es el número esperado de caras y colas observadas si se lanza una moneda justa 1000 veces? Sabiendo que los lanzamientos de la moneda son eventos i.i.d., y confiando en la ley de los grandes números se calcula que es:

$$N_{heads} = 500 \; N_{tails} = 500$$

Ahora bien, hay que observar/realizar las primeras 500 vueltas a todos sean cabezas . Queremos saber el número esperado actualizado de realizaciones de las 500 tiradas restantes. Como los primeros 500 eventos se han realizado y no afectan al proceso físico subyacente de lanzamiento de la moneda, sabemos que el número esperado de caras y colas de los 500 lanzamientos restantes son:

$$N_{heads} = 250 \; N_{tails} = 250$$

Así que, aquí está mi pregunta/confusión: Entiendo que cada lanzamiento de moneda es independiente y que cualquier lanzamiento individual tiene una probabilidad de $\frac{1}{2}$ que viene de cabeza. Sin embargo, basándonos en la ley de los grandes números sabemos que la media (si valoramos las colas como 0 y las caras como 1) de los lanzamientos se acercará a $0.5$ a medida que el número de lanzamientos se acerca $\infty$ . Entonces, basándonos en esto, si hemos observado 500 cabezas seguidas, ¿por qué no esperamos estadísticamente realizar más colas en el futuro? Me doy cuenta de que el siguiente pensamiento es incorrecto, pero se siente como nosotros (estadísticamente) debido para una cola y que la probabilidad de cola debe aumentar y la de cara debe disminuir. Como no es así, parece que esto entra en conflicto con la expectativa original de $N_{heads} = 500$ y $N_{tails} = 500$ .

Una vez más, me doy cuenta de que este pensamiento es incorrecto, pero espero que alguien pueda ayudarme a entender por qué esta información pasada (500 realizaciones de cabezas seguidas) no proporciona ninguna información nueva y actualizada que actualice la probabilidad de los lanzamientos restantes. Es evidente que la moneda no conozca que acaba de surgir cabezas $500$ veces, por lo que la forma correcta de pensar en esto es que la ley de los grandes números no implica que en las siguientes 500 tiradas sea más probable la cruz, sino que a medida que $N \rightarrow \infty$ esperamos que el 50% de las realizaciones sean caras y el 50% sean colas. En cuyo caso mi error de razonamiento se basa en aplicar un teorema del límite que se aplica en la asíntota a una situación preasintótica?

También siento que esto tiene que ver con un poco de confusión entre eventos individuales (un solo lanzamiento de moneda que sale cara), y la acción colectiva de un conjunto de eventos (1000 lanzamientos de moneda) que presentan propiedades no aleatorias. Después de buscar encontré una cita maravillosa de Kolmogorov $^1$ :

"En realidad, sin embargo, el valor epistemológico de la teoría de la probabilidad sólo se revela mediante teoremas límite. ... De hecho, todo el valor epistemológico de la teoría de la probabilidad se basa en esto: que los fenómenos aleatorios a gran escala en su acción colectiva crean una regularidad estricta, no aleatoria. El propio concepto de probabilidad matemática sería infructuoso si no encontrara su realización en la frecuencia de ocurrencia de los acontecimientos bajo condiciones de repetición y uniformidad a gran escala."

Creo que esta cita aclara parte de mi confusión, pero si alguien pudiera explicar con más detalle por qué las realizaciones (basadas en un proceso estadístico conocido) no pueden utilizarse para actualizar las probabilidades posteriores, se lo agradecería mucho.

1. B. V. Gnedenko y A. N. Kolmogorov: Limit distributions for sums of independent random variables. Addison-Wesley Mathematics Series

Answer 1

Lo fundamental es recordar que los lanzamientos son IID. La realización podría incluirse cuando se considera en el diseño de su modelo. Uno de los ejemplos es si tu modelo es un modelo de Markov, de hecho muchos modelos que utilizan el marco bayesiano incluyen la realización al actualizar la probabilidad. Esto es un gran ejemplo a lo que he mencionado antes. La razón por la que no se aplica para su caso porque la realización no está incluido por el diseño de su modelo.

Answer 2

La intuición puede llevarnos a menudo por el mal camino en el ámbito de la inifinidad porque el infinito no se experimenta en el mundo real.

Una buena regla general para ayudarte a pensar en ello es que todo número finito se parece al cero hasta el infinito. Un millón de cabezas seguidas sigue pareciendo cero hasta el infinito. Si se "lanzara la moneda un número infinito de veces" -lo que no se puede hacer, pero lo que realmente queremos decir es "seguir volteando", entonces una racha de un millón de cabezas se convierte en una casi certeza.

Pero el infinito es un concepto complicado, y tenemos que esforzarnos para asegurarnos de que sabemos lo que estamos diciendo. Por ejemplo, lo que queremos decir con "se convierte en una casi certeza" es: si me das un porcentaje, digamos, 99,99; entonces calcularé cuántas tiradas de moneda X debes hacer para tener una probabilidad del 99,99% de ver una tirada de un millón de cabezas ahí. Usted define lo que significa "casi": si quiere que sea el 99,999999%, bien, volveré a calcular y le daré un número mayor Y de lanzamientos de moneda para hacer. Pero incluso los Y lanzamientos no garantía la carrera del millón de cabezas. Todo lo que estoy garantizando es que si haces un montón de tiradas de Y, entonces puedes esperar que el 99,999999% de ellas tengan una tirada de un millón de cabezas (y cuantas más hagas, más cerca del 99,999999% podemos esperar que sea el resultado).

En el universo de posibilidades, empezar una carrera con cualquier número de cabezas es una posibilidad. Lo que dice la ley de los grandes números es que, si se prolonga lo suficiente, esa tirada en particular es cada vez más irrelevante porque hay muchos otros experimentos que se realizan. Sí, usted puede conseguir mil millones de cabezas seguidas. Pero si me das un porcentaje y un objetivo, como, por ejemplo, "Quiero estar 99,8% seguro de que mi relación cabeza-cola está entre 0,499 y 0,501, y sé que empiezo con mil millones de cabezas" puedo decirte un número Z que te dará un 99,8% de probabilidades de lograrlo que .

El infinito no es un número. Es un concepto que va más allá del número, y cuando hablamos de él, tenemos que tener mucho cuidado de saber a qué nos referimos realmente, o acabaremos confundiéndonos. La ley de los grandes números habla de lo que ocurre cuando N "llega al infinito" (en realidad hacia infinito, no "llegas allí"), y por eso no es de extrañar que razonar sobre lo que realmente te está diciendo pueda llevar a algunas trampas. Todo lo que experimentamos es finito y, en el mundo real, si un contable estuviera mirando por encima de tu hombro te pondrías cada vez más nervioso por saber cuántas colas vas a necesitar para "equilibrar esta carrera". El infinito tiene tiempo para eso, aunque el tiempo completo de la existencia de la humanidad no lo tenga.

Answer 3

Las diferentes escuelas de probabilidad son un poco confusas, así que vamos a hacerlo en el ordenador como experimentos.

Lo que su confusión es que

1. Si tengo (digamos) 300 colas en las primeras 500 tiradas, ¿debo esperar 200 colas en las siguientes 500 tiradas?

2. Si tengo (digamos) 200 colas en las primeras 200 tiradas, ¿debo esperar (sólo) 300 colas en las siguientes 800 tiradas?

3. Si tengo $x$ colas en la primera $y$ volteretas, ¿debo esperar (sólo) $500-x$ colas en el siguiente $1000-y$ ¿se voltea?

O si establecemos que la cola sea -1 y la cabeza +1:

Si tengo en la primera $y$ la suma es $s_1 = x$ ¿que debo esperar en el próximo $n-y$ invierte la suma para que sea $s_2 = -x\frac{y}{n-y}$ ?

Si volteamos muchos muchos recorridos, con cada recorrido $n$ y trazamos $s_1$ y $s_2$ Si tu afirmación es cierta, deberíamos ver una buena línea para los fijos $y$ , para $s_2 = -s_1 \frac{y}{n-y}$ .

Aquí hay un código python para su problema:

import random
from matplotlib import pyplot as plt

def run():
    n_trial = 1000
    flip = 1000
    deviation = []
    prediction = []
    for trial in range(n_trial):
        result = [random.choice([-1, 1]) for _ in range(flip)]
        current = 500
        deviation.append(sum(result[:current]))
        prediction.append(sum(result[current:]))

    return deviation, prediction

deviation, prediction = run()
plt.scatter(deviation, prediction)
plt.show()

El resultado es una gigantesca bola de desorden.

lo que significa que no están relacionados, incluso desde un punto de vista "experimental" .

Answer 4

Que hayas lanzado una moneda muchas veces en el pasado es irrelevante. Cada vez que se lanza una moneda se espera que haya un 50% de posibilidades de que salga cara. Si vas a lanzarla 500 veces, debería salir cara unas 250 veces. Pero no hay ninguna garantía. Las 500 veces pueden salir caras, o 0 veces.

En total, al terminar con su lanzamiento número 1000 podría haber tenido cabezas de 500 a 1000 veces. La combinación exacta de cara y cruz que obtuviste tenía las mismas probabilidades de ocurrir, incluso si las primeras 500 tiradas fueron cara.

Para visualizarlo digamos que lo volteas 4 veces. Sus dos primeras vueltas fueron H, H. Su resultado podría ser entonces:

H, H, H, H
H, H, H, T
H, H, T, H
H, H, T, T

Puedes ver que la cara y la cruz tienen una probabilidad del 50%. Digamos que el resultado fue H, H, H, T. Ese resultado fue uno de los posibles

H, H, H, H
H, H, H, T   <---yours  
H, H, T, H
H, H, T, T 
H, T, H, H 
H, T, H, T 
H, T, T, H 
H, T, T, T 
T, H, H, H 
T, H, H, T 
T, H, T, T 
T, H, T, T 
T, T, H, H 
T, T, H, T 
T, T, T, H 
T, T, T, T

así que 16 combinaciones. Cualquiera de ellas podría haber ocurrido y una de ellas lo hizo. Que digas que las dos primeras fueron H, H no cambia el resultado de las dos últimas. Las dos primeras podrían haber sido T, T o T, H y el resultado de las dos últimas seguiría siendo independiente.