Expectativa de 500 lanzamientos de moneda tras 500 realizaciones

Question

Esperaba que alguien pudiera aportar claridad en torno al siguiente escenario. Se pregunta "¿Cuál es el número esperado de caras y colas observadas si se lanza una moneda justa 1000 veces? Sabiendo que los lanzamientos de la moneda son eventos i.i.d., y confiando en la ley de los grandes números se calcula que es:

$$N_{heads} = 500 \; N_{tails} = 500$$

Ahora bien, hay que observar/realizar las primeras 500 vueltas a todos sean cabezas . Queremos saber el número esperado actualizado de realizaciones de las 500 tiradas restantes. Como los primeros 500 eventos se han realizado y no afectan al proceso físico subyacente de lanzamiento de la moneda, sabemos que el número esperado de caras y colas de los 500 lanzamientos restantes son:

$$N_{heads} = 250 \; N_{tails} = 250$$

Así que, aquí está mi pregunta/confusión: Entiendo que cada lanzamiento de moneda es independiente y que cualquier lanzamiento individual tiene una probabilidad de $\frac{1}{2}$ que viene de cabeza. Sin embargo, basándonos en la ley de los grandes números sabemos que la media (si valoramos las colas como 0 y las caras como 1) de los lanzamientos se acercará a $0.5$ a medida que el número de lanzamientos se acerca $\infty$ . Entonces, basándonos en esto, si hemos observado 500 cabezas seguidas, ¿por qué no esperamos estadísticamente realizar más colas en el futuro? Me doy cuenta de que el siguiente pensamiento es incorrecto, pero se siente como nosotros (estadísticamente) debido para una cola y que la probabilidad de cola debe aumentar y la de cara debe disminuir. Como no es así, parece que esto entra en conflicto con la expectativa original de $N_{heads} = 500$ y $N_{tails} = 500$ .

Una vez más, me doy cuenta de que este pensamiento es incorrecto, pero espero que alguien pueda ayudarme a entender por qué esta información pasada (500 realizaciones de cabezas seguidas) no proporciona ninguna información nueva y actualizada que actualice la probabilidad de los lanzamientos restantes. Es evidente que la moneda no conozca que acaba de surgir cabezas $500$ veces, por lo que la forma correcta de pensar en esto es que la ley de los grandes números no implica que en las siguientes 500 tiradas sea más probable la cruz, sino que a medida que $N \rightarrow \infty$ esperamos que el 50% de las realizaciones sean caras y el 50% sean colas. En cuyo caso mi error de razonamiento se basa en aplicar un teorema del límite que se aplica en la asíntota a una situación preasintótica?

También siento que esto tiene que ver con un poco de confusión entre eventos individuales (un solo lanzamiento de moneda que sale cara), y la acción colectiva de un conjunto de eventos (1000 lanzamientos de moneda) que presentan propiedades no aleatorias. Después de buscar encontré una cita maravillosa de Kolmogorov $^1$ :

"En realidad, sin embargo, el valor epistemológico de la teoría de la probabilidad sólo se revela mediante teoremas límite. ... De hecho, todo el valor epistemológico de la teoría de la probabilidad se basa en esto: que los fenómenos aleatorios a gran escala en su acción colectiva crean una regularidad estricta, no aleatoria. El propio concepto de probabilidad matemática sería infructuoso si no encontrara su realización en la frecuencia de ocurrencia de los acontecimientos bajo condiciones de repetición y uniformidad a gran escala."

Creo que esta cita aclara parte de mi confusión, pero si alguien pudiera explicar con más detalle por qué las realizaciones (basadas en un proceso estadístico conocido) no pueden utilizarse para actualizar las probabilidades posteriores, se lo agradecería mucho.

1. B. V. Gnedenko y A. N. Kolmogorov: Limit distributions for sums of independent random variables. Addison-Wesley Mathematics Series

Answer 1

Si "sabes" que la moneda es justa

entonces seguimos esperando que la proporción de cabezas a largo plazo tienda a $0.5$ . Esto no quiere decir que debamos esperar más (más del 50%) de las siguientes tiradas sean cruz, sino que la $500$ se convierten en irrelevantes, ya que $n\rightarrow\infty$ . Una racha de $500$ cabezas puede parecer mucho (y en la práctica lo es), pero

• si $250$ de la siguiente $500$ son caras, entonces la proporción de la muestra se convierte en $$\hat p = \frac{500 + 250}{1000} = 0.75.$$
• si $250$ de la siguiente $500$ los volteretas son cabezas entonces... $$\hat p = \frac{500+250+250}{1500} \approx 0.67$$
• si $100000$ del próximo $200000$ los volteretas son cabezas entonces... $$\hat p = \cdots \approx 0.501.$$

Se trata de la Ley de los Grandes Números.

Por otro lado...

si lanzara una moneda en la vida real y viera $500$ cabezas seguidas, empezaría a dudar seriamente de que la moneda sea realmente justa. (Nota interesante, es difícil (¿imposible?) que realmente sesgar una moneda en la vida real. Los únicos valores realistas de $p$ son $0$ , $0.5$ y $1$ pero lo ignoraremos en aras de una respuesta).

Para tener en cuenta esta posibilidad, podríamos utilizar un procedimiento bayesiano desde el principio. En lugar de asumir $p=1/2$ Supongamos que especificamos la distribución a priori $$p \sim \text{Beta}(\alpha, \alpha).$$

Se trata de una distribución simétrica, que codifica mi creencia a priori de que la moneda es justa, es decir $E(p) = \frac{1}{2}$ . La fuerza con la que creo en esta noción se especifica a través de la elección de $\alpha$ , ya que $Var(p) = \frac{1}{8(\alpha+0.5)}$ .

• $\alpha = 1$ corresponde a un uniforme antes de $(0,1)$ .
• $\alpha = 0.5$ es El anterior de Jeffrey - otro popular no informativo elección.
• La elección de un valor grande de $\alpha$ da más credibilidad a la creencia de que $p=1/2$ . De hecho, el establecimiento de $\alpha = \infty$ implica que $Pr(p=1/2) = 1$ .

Aplicando directamente la regla de Bayes, la distribución posterior para $p$ es $$p|y \sim \text{Beta}(\alpha+y, \alpha+n-y)$$ donde $y = \text{number of heads}$ y $n = \text{number of flips}$ . Por ejemplo, si elige $\alpha = 1$ y observar $n=y=500$ la distribución posterior se convierte en $\text{Beta}(501, 1)$ y $$E(p|y) = \frac{\alpha + y}{2\alpha + n} = \frac{501}{502} \approx 0.998$$ indicando que debería apostar por la cara para el próximo lanzamiento (ya que es altamente improbable que la moneda sea justa).

Este proceso de actualización puede aplicarse después de cada volteo, utilizando la distribución posterior después de $n$ como el anterior para flip $n+1$ . Si resulta que el $500$ Si la cara era sólo un evento (astronómicamente) improbable y la moneda es realmente justa, la distribución posterior acabará por captarlo (utilizando un argumento similar al de la sección anterior).

Intuición para elegir $\alpha$ : Para ayudar a comprender el papel de $\alpha$ en el procedimiento bayesiano, podemos utilizar el siguiente argumento. La media de la distribución posterior es equivalente a la estimación de máxima verosimilitud de $p$ Si aumentamos los datos con una serie de $2\alpha$ "hipotéticas volteretas", donde $\alpha$ de estas tiradas son caras y $\alpha$ de estas tiradas son colas. Elección de $\alpha=1$ (como hicimos anteriormente) sugiere que los datos aumentados son $501$ cabezas y $1$ colas. La elección de un valor mayor de $\alpha$ sugiere que se necesitan más pruebas para cambiar nuestras creencias. Aun así, para cualquier elección finita de $\alpha$ Estos "hipotéticos giros" acabarán siendo irrelevantes, ya que $n\rightarrow\infty$ .

Answer 2

La ley de los grandes números no establece que alguna fuerza devuelva los resultados a la media. Afirma que, a medida que aumenta el número de ensayos, las fluctuaciones serán cada vez menos significativas.

Por ejemplo, si lanzo la moneda 10 veces y obtengo 7 caras, esas dos cabezas adicionales parecen bastante significativas. Si lanzo la moneda 1.000.000 de veces y obtengo 500.002 caras, esas dos caras adicionales son casi completamente insignificantes.

En su ejemplo, esas 500 cabezas extra van a ser MUY significativas en un ensayo de 1.000 lanzamientos. Sin embargo, si se continúa con ese recorrido hasta 10.000 lanzamientos, esas 500 cabezas sólo suponen una diferencia del 5%. Después de 1.000.000 de ensayos de 50/50, esas 500 cabezas extra sólo suponen un 0,05% de diferencia. Si llegamos a 1.000.000 de intentos, esa racha inicial de suerte loca sólo supuso una diferencia del 0,00005%. Puedes ver que a medida que el número de pruebas aumenta, los resultados se acercan más al valor esperado.

Answer 3

La noción de que una de las partes está "en deuda" es la "falacia del jugador" en pocas palabras. En pocas palabras, la falacia del jugador es la falsa creencia de que el corto plazo debe reflejar el largo plazo.

La moneda no sabe ni le importa que pienses dejar de lanzarla. A la moneda le quedan infinidad de lanzamientos, y frente a esa infinidad, un simple 500 no es nada. Tenga en cuenta que, una vez que se ha observado un resultado, ese resultado ya no es aleatorio. El modelo p(cara) = 0,5 no rige los valores observados en el pasado. Cada uno de esos valores es "cara" con probabilidad 1.

Al plantear el problema, se persigue el modelo p(cabezas) = 0,5. Este modelo dice que la historia es irrelevante. Uno podría, en algún momento, considerar un modelo alternativo.

Answer 4

La respuesta directa, supongo, es que no. La posibilidad de que una moneda justa obtenga $500$ cabezas en $500$ es $1$ en $2^{500}\approx3\times10^{150}$ . Como referencia, esto es uno de cada diez mil millones asaṃkhyeyas Un valor utilizado en la teología budista e hindú para denotar un número tan grande como incalculable; se trata del número de volúmenes de Planck en un parsec cúbico. He intentado hacer una comparación rápida de "canicas en el universo observable", pero no puedo. Nada es lo suficientemente pequeño y el universo no es lo suficientemente grande.
En términos de probabilidad, es casi un googol de veces más probable barajar una baraja de cartas en perfecto orden creciente, ases bajos, tréboles-diamantes-corazones-picas ( $1$ en ${52!}$ ).
Llegados a este punto, debería asumir que ha lanzado una moneda de dos caras por error. Las monedas de dos cabezas no son especialmente raras; son una novedad ligeramente popular. Se calcula que algunas decenas de miles (supongamos que veinte mil) se filtran en la circulación, un error fácil con una moneda trucada bien hecha (y perfectamente legal: las monedas trucadas se hacen mecanizando dos monedas y pegándolas, pero yo no intentaría argumentar que valen el doble).
Si hay 20.000 monedas de dos caras circulando entre los aproximadamente 3.820 millones de monedas de EE.UU. en circulación ahora mismo, las probabilidades de que haya cogido una por error son de 1 entre 191.000. Si hay un 99% de posibilidades de que te des cuenta de que la moneda no tiene reverso, eso sigue siendo mil asaṃkhyeya veces más probable que este resultado. Con una moneda de dos cabezas en medio de la $793,464,097,826$ monedas producidas por la Casa de la Moneda de los Estados Unidos desde 1890, y una posibilidad entre un trillón de que la dejes pasar, sigue siendo una catástrofe del vacío más probable que la alternativa.

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Creo que eso es lo que te está confundiendo: este escenario es tan fenomenalmente improbable que no puedes aceptar que se ajuste a la probabilidad normal. Por supuesto, si has comprobado mágicamente que la moneda es realmente justa, entonces las probabilidades siguen siendo las mismas de siempre: 50/50. Sólo me inclino a sospechar que no lo es.

Answer 5

Ya hay algunas respuestas estupendas aquí, pero quería añadir otra forma de pensar en el problema que puede ser más intuitiva que revisar las matemáticas (para abordar los sentimientos descritos en la pregunta). Este razonamiento es válido para cualquier número arbitrario de ensayos, pero no aborda la situación de un número arbitrario de ensayos. más ensayos hacia el infinito. Esto se maneja elegantemente y bien en las respuestas ya publicadas, basadas en las matemáticas.

Cada giro es completamente independiente, por lo que los giros anteriores no tienen ninguna influencia en los siguientes. Pero no estás describiendo los volteos individuales, porque estás imponiendo información sobre los ensayos anteriores.

En este caso, está utilizando 500 ensayos anteriores para informar su pensamiento sobre el resultado del siguiente giro. Esto no funciona, ya que cada vuelta es independiente de todas las demás. Si se impone la información de 500 giros anteriores en el problema, entonces se interpreta el proceso como un colección de los volteos. En ese caso, puede ser más intuitivo considerar los ensayos no como tiradas individuales, sino como establece de volteretas.

Como ejemplo más sencillo, si lanzamos la moneda tres veces tenemos ocho resultados posibles:

• HHH
• HHT
• HTH
• THH
• HTT
• THT
• TTH
• TTT

Resumiendo, esos resultados son:

• Tres cabezas: 1 combinación
• Dos caras, una cruz: 3 combinaciones
• Una cara, dos colas: 3 combinaciones
• Tres colas: 1 combinación

Por lo tanto, a partir de las descripciones resumidas (en las que el orden de los tiros no importa) es más probable que veamos un resultado 2:1, simplemente porque hay seis combinaciones individuales que producen ese resultado en comparación con las posibilidades 3:0, de las que sólo hay dos combinaciones posibles. Pero cada combinación específica de tres tiradas aparece en la lista una vez, y es tan probable como las demás.

La misma lógica es válida para más ensayos, aunque las combinaciones se vuelven tediosas de enumerar. Por suerte para nosotros, si estamos afirmando una cadena de 500 lanzamientos con resultados de cabezas, eso elimina la mayoría de las combinaciones, tenemos que empezar con 500/501 lanzamientos que muestren cabezas.

A partir de este punto de partida, ahora veremos cuántos resultados son posibles para el resto de la tirada, y para que tenemos la probabilidad base de un solo lanzamiento de moneda que ofrece dos resultados:

• 500 vueltas a la cabeza, y luego otra vuelta a la cabeza
• 500 tiradas de cara, y luego una tirada de cruz

Todas las combinaciones posibles de lanzamientos en un conjunto con un número determinado de ensayos individuales son igualmente probables, pero el resumen de cada conjunto produce muchos resultados superpuestos (hay muchas combinaciones que producen 250 caras y 250 colas, ya que el orden no importa para el resumen, pero exactamente una combinación que produciría todo cabezas en todos los ensayos individuales).

Sólo hay dos combinaciones que pueden describir la situación de la pregunta: cada uno de ellos de las primeras 500 vueltas debe mostrar las cabezas (se asume en el problema, por lo que la probabilidad de ese resultado no es importante), y luego, después de esas 500 tiradas iniciales, puede obtener su 1er resultado de cola o su 501º resultado de cara.

Así que esa es mi sugerencia para ayudar a interiorizar la intuición detrás de este escenario:

• Cada individual El lanzamiento de una moneda justa no tiene memoria y es totalmente independiente, por lo que cada resultado es igualmente probable en cualquier lanzamiento
• El número de posibles combinaciones de resultados de volteo a través de 500 ensayos es grande, pero cada combinación específica sólo aparece en esa lista una vez. Cada posible combinación de 500 vueltas es exactamente como cualquier otra (cada una tiene una sola entrada en la lista de posibles resultado)
• Sólo hay dos combinaciones posibles de 501 tiradas que comienzan con 500 lanzamientos que muestran un resultado de cara: una en la que se produce otro resultado de cara resultado de cara, y una en la que se produce un resultado de cruz. Cada uno de esos resultados son igualmente probables (se deciden sólo por la 501ª tirada)