Transformación de Lorentz de 4 gradientes

Question

Actualmente estoy estudiando el comportamiento de un campo escalar $\phi$ bajo una transformación de Lorentz $\Lambda$ . Sin embargo, me cuesta entender por qué es cierto lo siguiente:

$$\partial_{\mu}\left(\phi(\Lambda^{-1}x)\right) = (\Lambda^{-1})^{\nu}_{~~\mu}~(\partial_{\nu}\phi)\left(\Lambda^{-1}x\right).$$

Esto debería seguir probablemente la regla de la cadena con $\Lambda$ siendo una transformación lineal, pero no puedo entender por qué esto es así.

Answer 1

Esta es una simple aplicación de la regla de la cadena $$ \frac{\partial}{\partial x^\mu} \phi \big( \Lambda_\nu{}^\mu x^\nu \big) = \frac{\partial}{\partial x^\mu} \big( \Lambda_\rho{}^\nu x^\rho \big) \left[ \frac{ \partial }{ \partial y^\nu } \phi (y) \right]_{y^\mu = \Lambda_\nu{}^\mu x^\nu} = \Lambda_\mu{}^\nu \left[ \frac{ \partial }{ \partial y^\nu } \phi (y) \right]_{y^\mu = \Lambda_\nu{}^\mu x^\nu} ~. $$