La pregunta es, básicamente, el título en sí mismo. Es fácil probar el uso de la reciprocidad cuadrática que no cuadrados son no residuos de algunos de los mejores $p$. Me gustaría hacer uso de este hecho en una prueba de la reciprocidad cuadrática y aunque quisiera una prueba de que evita la reciprocidad cuadrática, si es posible.
Respuesta
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Deje $D$ ser rectangulares. La ecuación (3.3) de Selberg del "elemental, con la prueba del teorema de los números primos para progresiones aritméticas" los estados que $$\sum_{p \leq x,\ \left( \frac{D}{p} \right)=1} \frac{\log p}{p} = \frac{1}{2} \log x + O(1).$$ Combinado con Mertens " primer teorema de $$\sum_{p \leq x} \frac{\log p}{p} = \log x + O(1),$$ esto implica claramente que el $\left( \frac{D}{p} \right)$ es infinitamente a menudo $1$ e infinitamente a menudo $-1$. Como un ejercicio para mí, voy a reescribir las pruebas de Mertens' y Selberg resultados del limpiamente como puedo. Aprendí acerca de Selberg del enfoque de una hermosa Mathoverflow respuesta por Vesselin Dimitrov.
Comenzamos con la prueba de Merten del teorema. Considere la posibilidad de $x! = \prod_{n=1}^{x} n$. Estimar el tamaño de $\log x!$ en dos maneras. Por un lado, $$\log x! \approx \int_{t=1}^x \log t dt = x \log x -x+1 = x \log x + O(x). \quad (1)$$
Por otro lado, considere la posibilidad de cualquier número primo $p \leq x$. A continuación, $p$ divide $(x/p)+O(1)$ de los términos en $x!$. Ignorando por el momento en el que algunos de los términos pueden ser divisible por $p^2$, obtenemos una contribución de $\sum_{p \leq x} \frac{x}{p} \log p + \sum_{p \leq x} O(\log p)$ de esos términos. El uso de Chebyshev enlazado $\sum_{p \leq x} \log p = O(x)$, llegamos a la conclusión de que $$\log x! = x \sum_{p \leq x} \frac{\log p}{p} + O(x). \quad (2)$$ Incluyendo la posibilidad de $p$ división de un término más de una vez sólo contribuye $\sum_{p \leq x} \sum_{k=2}^{\infty} O(\frac{x \log p}{p^k}) = O(x)$, por lo que no cambia (2). La combinación de (1) y (2) da Merten del primer teorema.
Ahora podemos aplicar la misma idea a probar Selberg del teorema. Fijar una limitada región convexa $C$$\mathbb{R}^2$$1$, que contiene el origen. Selberg usa un determinado paralelogramo, pero me parece que más confusas que útiles. Escribir $\sqrt{x}C$ $\sqrt{x}$veces la dilatación de $C$. Vamos a calcular el $$P(x) := \prod_{(u,v) \in \sqrt{x} C \setminus \{(0,0) \}} |u^2-D v^2| .$$ de dos maneras. Desde $D$ no es cuadrada, el producto no es cero. (Sin embargo, este no es el principal uso del hecho de que $D$ no es cuadrada; lo que está por venir.)
Podemos explicar el factor de $\sqrt{x}$ señalando que $\sqrt{x} C$ contiene aproximadamente el $x \mathrm{Area}(C) = x$ celosía puntos, por lo $P(x)$ es como un factorial.
Por un lado, podemos justificar la aproximación de $\log P(x)$ por la integral $$ \log P(x) \approx \int_{(u,v) \in \sqrt{x} C} \log |u^2 - D v^2| du dv. $$ Poner a $u_2=u/\sqrt{x}$$v_2=v/\sqrt{x}$, esto es $$ \int_{(u_2, v_2) \in C} (\log x + \log |u_2^2-D v_2^2|) (\sqrt{x} du_2) (\sqrt{x} dv_2) = \int_{(u_2, v_2) \in C} (x \log x) du_2 dv_2 +O(x) $$ $$ = (x \log x) \mathrm{Area}(C)+O(x) = x \log x + O(x). \quad (3)$$ Usted puede comparar esto con nuestro anterior fórmula $\log x! = x \log x + O(x)$, también se obtiene por la integración.
Por otro lado, considere la posibilidad de un primer $p$ y pensar cuántas veces se puede dividir $P(x)$. Si $\left( \frac{D}{p} \right)=-1$, entonces la única forma de $p$ brecha $u^2-D v^2$ $p$ dividir $u$$v$. Así, el número de veces en que esto ocurre es $\# (\sqrt{x} C) \cap (p \mathbb{Z}^2) \approx \frac{\mathrm{Area}(\sqrt{x} C)}{p^2} = x/p^2$. Como antes, $\sum \frac{x \log p}{p^2} = O(x)$, por lo que esto es importante.
Ahora supongamos que $p$ es impar, no dividiendo $D$, e $\left( \frac{D}{p} \right) = 1$. Entonces hay dos raíces cuadradas, $\pm \mu$$D$$\mathbb{Z}/p \mathbb{Z}$. Se definen dos celosías $\Lambda^p+$$\Lambda^p_-$$\Lambda^p_{\pm} = \{ u \equiv \pm \mu v \bmod p \} \subset \mathbb{Z}^2$. A continuación, $p$ divide $u^2-D v^2$ si y sólo si $p$ es $\Lambda^p_+$ o $\Lambda^p_-$. Los dominios fundamentales de la $\Lambda^p_{\pm}$ ambos tienen área de $p$. Por lo que el número aproximado de $p$ para el que esto ocurre es $2 \frac{\mathrm{Area}(\sqrt{x} C)}{p} = \frac{2x}{p}$, y llegamos $P(x) \approx \sum_{p \leq x,\ \left( \frac{D}{p} \right) = 1} \frac{2x}{p} \log p$. Uno puede mostrar que las contribuciones de $p$ dividiendo $u^2-D v^2$ más de una vez, y de $p$ dividiendo $D$ o igual a $2$ son insignificantes, y termina con la conclusión de $$\log P(x) = 2x \sum_{p \leq x,\ \left( \frac{D}{p} \right) = 1} \frac{\log p}{p} + O(x). \quad (4)$$
La comparación de (3) y (4), podemos deducir Selberg de la ecuación. QED, pero no hemos terminado.
Tenemos que justificar que el número de puntos en $\sqrt{x} C \cap \Lambda^p_{\pm}$ se aproxima bien por $\frac{\mathrm{Area}(\sqrt{x} C)}{\det \Lambda^p_{\pm}}$ donde $\det \Lambda$ es el área fundamental del dominio para $\Lambda$. Esto nos obliga a demostrar que $\Lambda^p_{\pm}$ no es demasiado loco. (También tenemos una demanda similar por $p \mathbb{Z}^2$, pero que es similar y más fácil.) Específicamente, vamos a necesitar
Lema de Todos los vectores distintos de cero en $\Lambda_{\pm}$ han longitud de, al menos,$\sqrt{p/|D|} = \sqrt{\det \Lambda^p_{\pm}}/\sqrt{|D|}$.
La Prueba Deje $(u,v) \in \Lambda^p_{\pm}$. A continuación,$u^2 - D v^2 \equiv 0 \bmod p$. Pero, desde $D$ no es cuadrada, $u^2-D v^2 \neq 0$ y sabemos que $|u^2-D v^2| \geq p$. A continuación,$u^2+v^2 \geq \frac{|u^2-D v^2|}{D} \geq p/d$, según se requiera. $\square$
Ahora vamos a probar un montón de Lemas sobre entero de puntos en las Rejillas.
Específicamente, nos muestran:
Clave del entramado lema Deje $C$ ser como el anterior. Revisión constante $c>0$, y deje $\Lambda \subset \mathbb{R}^2$ ser entramado en el que cada vector tiene una longitud de $\geq c \sqrt{\det \Lambda}$. Entonces, para $R>0$, $$ \#((RC) \cap \Lambda) = \frac{R^2}{\det \Lambda} + O(R/\sqrt{\det \Lambda}) .$$
Esta sección cantidades para mí desembalaje de las frases "es fácil de muestra" y "ahí" en el párrafo en la parte inferior de Selberg la página 71.
Lema Deje $\Lambda$ ser cualquier red en $\mathbb{R}^2$. A continuación, $\Lambda$ tiene una base $v_1$, $v_2$ para que el ángulo entre el $v_1$ $v_2$ entre $\pi/3$$2 \pi/3$.
La prueba Deje $v_1$ ser la más corta vector distinto de cero en $\Lambda$. Rotación y reescalado, podemos suponer que la $v_1 = (1,0)$. Deje $w=(a,b)$ ser arbitraria otros vectores que forman una base, junto con $v_1$. A continuación, $w+k v_1 = (k+a, b)$ también constituye una base junto con $v_1$. Supongamos, por el bien de la contradicción, de que el ángulo entre el $v_1$ $w+k v_1)$ nunca miente entre el$\pi/3$$2 \pi/3$. A continuación, hay algunos $k$ donde $\angle(v_1, w+k v_1) > 2 \pi/3$ y, a continuación,$\angle(v_1, w+(k+1) v_1) < \pi/3$. Pero, también, $w+k v_1$ $w+kv_2$ se encuentran fuera del círculo unidad, ya que elegimos $v_1$ mínimo. Es imposible encontrar dos puntos que son los extremos de una línea horizontal de un segmento de longitud $1$, de modo que ambos se encuentran fuera del círculo unidad, con un ángulo $<\pi /3$ respecto a la horizontal y el otro en ángulo $>2 \pi/3$. $\square$
A partir de ahora, vamos a $\Lambda$ obedecen a la condición de que todos los vectores que tienen la longitud de, al menos,$c \sqrt{\det \Lambda}$.
Lema $\Lambda$ tiene una base $v_1$ $v_2$ donde tanto $v_i$ tienen la longitud $\leq 2 \sqrt{\det \Lambda}/c$.
Prueba de Elegir la base de la anterior Lema, y deje $\theta$ ser el ángulo entre el$v_1$$v_2$. A continuación,$\det \Lambda = |v_1 \times v_2| = |v_1| \ |v_2| \ |\sin \theta| \geq |v_1| \ |v_2|/2$. Desde $|v_1| \geq c \sqrt{\det \Lambda}$, podemos deducir $|v_2| \leq 2 \sqrt{\det \lambda}/c$, y viceversa. $\square$
Ahora, aplica un cambio de base para hacer $v_1$, $v_2$ en el estándar de base $(1,0)$$(0,1)$. Deje $C'$ ser la imagen de $C$ bajo este cambio de base. Así que nos están contando de coordinar la celosía puntos en $RC'$. El área de $RC'$$R^2/\det \Lambda$. El perímetro de $RC'$$O(R/\sqrt{\det \Lambda})$, porque el hecho de que $v_1$ $v_2$ son aproximadamente de la misma longitud y forma un ángulo no muy lejos de $\pi/2$ significa que nuestra transformación lineal no puede distorsionar $C$ demasiado mal.
Ahora la Clave del Entramado Lema sigue del Lema 2.1.1 de Huxley en el conteo de puntos de $\mathbb{Z}^2$ en una región convexa. (No puedo creer que yo no podía encontrar un lugar más elemental referencia de Huxley, pero funciona, y este en particular lema se explica de una forma muy clara y de modo elemental.) Ahora nos toca escribir QED.
