Cómo expresar la ecuación del oscilador $y'' + 3y'+2y=\cos(t)$ como un sistema de primer orden?

Question

Puede alguien ayudarme a expresar esta ecuación del oscilador $y'' + 3y'+ 2y= \cos{(t)}$ como un sistema de primer orden?

También necesito trazar una curva de solución aproximada para la condición inicial $x_0 = 5, y_0=1$ . Me pidieron que creara una hoja de trabajo de Maple y que graficara múltiples condiciones iniciales, pero me está costando mucho comenzar con este problema.

Intenté solucionarlo sustituyendo $y' = V$ . Así que $V' + 3V + 2y = \cos(t)$

$v' = -3V - 2y + \cos(t)$

Pero no puedo conseguir dos ecuaciones diferenciales.

Gracias por su ayuda.

Answer 1

Bueno, empieza por dejar que $x_1=y$ y $x_2=y'$ . Entonces $x_1'=y'=x_2$ y $x_2'=y''=\cos t-3y'-2y=\cos t -3x_2-2x_1$ . Ahora tenemos el sistema de primer orden \begin{align*} &x_1'=x_2\\ &x_2'=\cos t-3x_2-2x_1. \end{align*}

En caso de que quieras saber cómo resolver la ecuación real: Observa que el polinomio característico de la ecuación es $r^2+3r+2=(r+1)(r+2)$ que tiene raíces $r=-1$ y $r=-2$ . Así, las soluciones de la ecuación homogénea asociada tienen la forma $y_h = C_1e^{-t}+C_2e^{-2t}$ . Utilizando el método de los coeficientes indeterminados, encontramos que una solución particular de la ecuación diferencial dada es $y_p=1/10(\cos t +3 \sin t)$ . Así que la solución general es

\begin{align*} y = C_1e^{-t}+C_2e^{-2t} + \frac{1}{10}\left(\cos t+3 \sin t\right). \end{align*}