El modelo más simple que tiene una transición KT es el modelo clásico XY en 2D, que consiste en espines clásicos planares (es decir, flechas bidimensionales), en una red cuadrada, que interactúan de tal manera que quieren alinearse con sus vecinos.
A temperatura cero, los estados que minimizan la energía del sistema son estados ferromagnéticos, es decir, todos, las flechas apuntan en la misma dirección. Sin embargo, hay un número infinito de tales estados, ya que dada una configuración de este tipo (digamos que todos los espines apuntan a lo largo de la dirección "x"), uno puede girar todos los espines en un ángulo arbitrario, y el sistema sigue teniendo la mínima energía posible por simetría. Esto implica que se pueden crear excitaciones con una energía pequeña y arbitraria (serían modos de Goldstone si el sistema estuviera realmente ordenado).
A una temperatura finita pero pequeña, estas excitaciones de baja energía destruyen el orden (la alineación de los espines), de acuerdo con el teorema de Mermin-Wagner. Sin embargo, se puede demostrar que el sistema tiene, no obstante, correlaciones de largo alcance (que decaen algebraicamente) debido a estas mismas excitaciones de baja energía. Este análisis (llamado análisis de espín-onda) no es fiable a muy alta temperatura, donde esperamos que el sistema esté totalmente desordenado, con correlaciones de corto alcance.
Lo que falta en el análisis de las ondas de espín es la posibilidad de vórtices, es decir, la posibilidad de que, a medida que se avanza por un bucle cerrado en la red, los ángulos de los espines en los sitios de la red visitados sumen múltiplos de $2\pi$ Ver imagen. ![enter image description here]()
Estos vórtices son excitaciones de espín de alta energía, pero resultan ser muy importantes para entender la transición de la correlación de largo alcance a baja temperatura, y las correlaciones de corto alcance a alta temperatura. Además, se dice que son excitaciones topológicas porque no se puede deshacer un vórtice cambiando localmente la orientación de los espines (es decir, si simplemente se decide girar un espín en algún ángulo, el vórtice seguirá estando ahí). La única forma de destruir vórtices, es aniquilar un vórtice con un antivórtice (un vórtice que gira en sentido contrario). Su creación también va por parejas.
Sabemos que tenemos todos los ingredientes. A baja temperatura, hay muy pocos pares vórtice-antivórtice, ya que cuesta mucho crearlos y tienden a permanecer muy juntos (están limitados). Al igual que un dipolo eléctrico es neutro cuando se ve desde lejos, estos pares limitados no afectan demasiado a las correlaciones a larga distancia, y éstas siguen siendo de largo alcance.
Sin embargo, a medida que la temperatura aumenta, se crean cada vez más pares, y la distancia entre los vórtices y antivórtices se aleja cada vez más, hasta que se produce una transición sin retorno: todos los vórtices y antivórtices son libres de moverse, lo que destruye las correlaciones entre espines demasiado distantes.
Esta es la transición Kosterlitz-Thouless.
