¿Cómo determinar el valor mínimo de un polinomio de 4º orden sin utilizar el cálculo?

Question

Tengo un $4^{th}$ de orden polinómico, $$x^4+100x^22000x+10^4=f(x)$$ cuyo valor mínimo necesito sin usar el cálculo. ¿Existe alguna otra forma que no sea el trazado de gráficos?

Answer 1

Para empezar, puedes deshacerte de los enormes coeficientes transformando a $y=\frac x{10}$ , lo que lleva a $f(x)=10^4(y^4+y^2-2y+1)=10^4g(y)$ con $g(y)=y^4+y^2-2y+1$ .

Si $z$ es el valor mínimo de $g(y)$ el polinomio cuaternario $h(y)=g(y)-z=y^4+y^2-2y+1-z$ tiene una raíz múltiple. Un polinomio cuaternario tiene raíces múltiples exactamente si su discriminante es cero. El discriminante de $h(y)$ es

$$ -16(16z^3-40z^2+69z-17)\;. $$

Así, el valor mínimo $z$ es el único cero real del polinomio cúbico $16z^3-40z^2+69z-17$ que es

$$ z=\frac1{12}\left(10-\frac{107}{\sqrt[3]{(174\sqrt{87}-1187}}+\sqrt[3]{(174\sqrt{87}-1187}\right)\approx0.28927\;. $$

Multiplique esto por $10^4$ para obtener el valor mínimo de aproximadamente $2892.7$ de $f(x)$ .