Encuentra el ángulo entre dos funciones bivariadas..

Question

Encuentre el ángulo entre $x^2+y^2=8$ y $xy=4$ en los puntos de intersección. He pensado en encontrar el ángulo entre las líneas tangentes de cada función en el punto de intersección, pero no sé cómo hacerlo

Answer 1

Sea el punto de intersección $(a,b)$ Así que $a^2+b^2=8$ y $ab=4≠0$ $$\implies \frac{a^2+b^2}{ab}=\frac{4}{2}\implies (a-b)^2=0\implies a=b≠0$$

Así que, $a=±2$ como $ab=4$ .

$$x^2+y^2=4\implies 2x+2y\frac{dy}{dx}=0\implies (\frac{dy}{dx})_{x=y}=-1$$

$$xy=4\implies x\frac{dy}{dx}+y=0\implies (\frac{dy}{dx})_{x=y}=-1 $$

Así, en $(a,a)$ los gradientes de las dos curvas dadas son iguales.

Sabemos que si el ángulo entre las dos curvas es $\theta$ entonces $\tan\theta=\frac{g_1-g_2}{1+g_1g_2}$ donde $g_i$ s son el gradiente de las curvas de intersección.

Así pues, el ángulo entre las dos curvas dadas en $(a,a)$ es decir, en $(2,2)$ y $(-2,-2)$ es $$\tan^{-1}\left(\frac{-1-(-1)}{1+(-1)(-1)}\right)=\tan^{-1}(0)=0 \text{ or }\pi$$

Alternativamente, se nos da $x^2+y^2=8$ y $xy=4$ . De este último, $x=\frac{4}{y}$

$$\left(\frac{4}{y}\right)^2+y^2=8\implies y^4-8y^2+16=0\implies (y^2-4)^2=0\implies y=±2$$

$$\tag 1 y=2\implies x=2$$ y $$\tag 2 y=-2\implies x=-2$$

Así que, $x=y$ en los puntos de intersección.

Observa que la ecuación de las tangentes comunes son $x+y=a+a=2a$ es decir, $x+y=±4$ .

Answer 2

Supongamos que cerca del punto de intersección la primera curva está parametrizada por $y_1(x)$ y el segundo por $y_2(x)$ . Enchufar $y = y_1(x)$ y diferenciando con respecto a $x$ obtenemos $$2x + 2y_1(x)y_1'(x) = 0$$ $$y_1'(x) = - x / y_1(x).$$ Del mismo modo, para la segunda curva obtenemos $$y_2'(x) = -y_2(x) / x.$$

Ahora, para encontrar los puntos de intersección restamos a la primera ecuación de la curva el doble de la segunda para encontrar $$x^2 + y^2 - 2xy = (x - y)^2 = 0.$$ Por lo tanto, $y = x$ y de la segunda ecuación $x^2 = 4$ para que los puntos de intersección sean $(2, 2)$ y $(-2, -2)$ . De la discusión anterior tenemos para la pendiente de $y_1$ es $y_1'(2) = -2 / 2 = -1$ y de manera similar $y_2'(2) = -1$ . Como son iguales, las curvas son tangentes y el ángulo buscado es cero.