Cuadrática campo, $O_K/\mathfrak{p} = \mathbb{F}_p$, $O_K/pO_K$ es un campo finito de orden $p^2$.

Question

Deje $K$ ser una ecuación cuadrática campo $\mathbb{Q}(\sqrt{m})$ donde $m$ es una plaza libre entero, y deje $p$ ser un número primo que no divide $2m$. Donde puedo encontrar una referencia a una prueba de los dos siguientes hechos/podría alguien suministro de una prueba? Estuve buscando un rato y no podía encontrar una prueba... y estos parecen como estándar lo suficientemente resultados, que es una prueba de que debe de existir en algún lugar...

1. Si $\left({m\over{p}}\right) = 1$, hay exactamente dos primeros ideales $\mathfrak{p}$ $O_K$ tal que $\mathfrak{p} \supset pO_K$. Para estos $\mathfrak{p}$, $O_K/\mathfrak{p} = \mathbb{F}_p$.
2. Si $\left({m\over{p}}\right) = -1$, $pO_K$ es un alojamiento ideal de $O_K$ $O_K/pO_K$ es un campo finito de orden $p^2$.

Answer 1

Es todo sobre el hecho de que $\mathcal{O}_K$ es un dominio de Dedekind. Esto está escrito en ningún libro sobre la teoría algebraica de números (por ejemplo, Swinnerton-Dyer "Una Breve Guía a la Teoría Algebraica de números").

Aplicando el hecho de que en un dominio de Dedekind no hay una única factorización de ideales, obtenemos $p\mathcal{O}=p_1^{e_1}\dots p_k^{e_k}$. Así $\mathcal{O}_K/p\mathcal{O}_K=\mathcal{O}_K/p_1^{e_1}\mathcal{O}_K\dots \mathcal{O}_K/p_k^{e_k}\mathcal{O}_K$ ($e_i$ se llama la ramificación de los índices). Desde $\mathcal{O}_K$ es un servicio gratuito de $\mathbb Z$-módulo de rango dos, $\dim_{\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}}\mathcal{O}_K/p\mathcal{O}_K=2$ $\sum e_if_i=2$ donde $f_i=\mathcal{O}_K/p_i\mathcal{O}_K$.

Ahora podemos entender la descomposición de la $p\mathcal{O}_K$ buscando en $\mathcal{O}_K/p\mathcal{O}_K$. Suponga que $m\equiv3\bmod 4$ (en los casos 1 y 2 son absolutamente similares) lo $\mathcal{O}_K=\mathbb{Z}[\sqrt{m}]=\mathbb{Z}[x]/(x^2-m)$$\mathcal{O}_K/p\mathcal{O}_K=\mathbb{Z}[x]/(x^2-m,p)=\mathbb{F}_p[x]/(x^2-m)$. Desde $p$ es impar el polinomio $x^2-m$ es separable en $\mathbb{F}_p$, por lo que es irreductible (en este caso $\mathcal{O}_K/p\mathcal{O}_K$ es un campo de orden de $p^2$ $p\mathcal{O}_K$ es el primer y $k=e_1=1,f_1=2$) o tiene dos raíces (en este caso $\mathcal{O}_K/p\mathcal{O}_K=\mathbb{F}_p\oplus\mathbb{F}_p$$k=2, e_1=e_2=f_1=f_2=1$).

Finalmente, los números primos que se presentan en la descomposición de la $p\mathcal{O}_K$ son exactamente aquellos que se encuentran más de $p$.

UPD(08.07.15) La respuesta de usuario @Servaes es más completa, el hecho de que $\mathcal{O}_K$ es Dedekind en realidad no es necesario para esta pregunta en particular.

Answer 2

Como $K:=\Bbb{Q}(\sqrt{m})$ es una ecuación cuadrática de la extensión de $\Bbb{Q}$ existe $\alpha\in K$ $\mathcal{O}_K=\Bbb{Z}[\alpha]\cong\Bbb{Z}[X]/(f)$ donde $f\in\Bbb{Q}[X]$ el polinomio mínimo de a $\alpha$. Dependiendo de si $m\equiv1\pmod4$ o $m\equiv2,3\pmod4$ tenemos $\Delta f=4m$ o $\Delta f=m$, respectivamente. Si $p$ es un número primo que no divide a $2m$, entonces el discriminante de $f$ no se desvanecen en el modulo $p$, e $\Delta f$ es un cuadrado modulo $p$ si y sólo si $m$ es. Tenga en cuenta que esto no depende de si $m\equiv1\pmod4$ o $m\equiv2,3\pmod4$.

Para ver cómo esto se relaciona con el anillo de $\mathcal{O}_K$, tenga en cuenta que tenemos isomorphisms $$\mathcal{O}_K/p\mathcal{O}_K=\Bbb{Z}[\alpha]/p\Bbb{Z}[\alpha]\cong\Bbb{Z}[X]/(f,p)\cong\Bbb{F}_p[X]/(f).$$ Esta muestra en particular que los ideales de la $\Bbb{F}_p[X]/(f)$ corresponden bijectively a los ideales de $\mathcal{O}_K/p\mathcal{O}_K$, o lo que es equivalente, que los ideales de $\Bbb{F}_p[X]$ contiene $f$ corresponden bijectively a los ideales de $\mathcal{O}_K$ contiene $p$.

Ahora si $\left(\tfrac{m}{p}\right)=1$ $\Delta f$ es un cuadrado en $\Bbb{F}_p$, y por lo $f$ se divide en $\Bbb{F}_p[X]$$f=(X-\beta_1)(X-\beta_2)$. A continuación, $f$ está contenida en el primer ideales $(X-\beta_1),(X-\beta_2)\subset\Bbb{F}_p[X]$, y no otros, los correspondientes a los dos primeros ideales $\mathfrak{p}_1,\mathfrak{p}_2\subset\mathcal{O}_K$ contiene $p$. Para cada uno de estos primos de los ideales que nos han $$\mathcal{O}_K/\mathfrak{p}_i\cong\Bbb{F}_p[X]/(X-\beta_i)\cong\Bbb{F}_p.$$

Si $\left(\tfrac{m}{p}\right)=-1$ $\Delta f$ no es un cuadrado en $\Bbb{F}_p$, y por lo $f$ es irreducible en a $\Bbb{F}_p[X]$. A continuación, $(f)\subset\Bbb{F}_p[X]$ es sólo el primer ideal que contiene a $f$, que corresponde a la única prime ideal $p\mathcal{O}_K\subset\mathcal{O}_K$ contiene $p$, y $$\mathcal{O}_K/p\mathcal{O}_K\cong\Bbb{F}_p[X]/(f)\cong\Bbb{F}_{p^2}.$$

Answer 3

Usted puede ver de Cohen Un Curso Computacional de la Teoría Algebraica de números (Teorema de 4.8.13), que ofrece un útil algoritmo para la descomposición de números primos en algunos caso, y resolver su problema mediante el uso de este teorema (es un ejercicio fácil).

También, usted puede probarlo directamente, ya que es cuadrática campo que es un caso fácil del teorema anterior. Hay una prueba en Hecke de Conferencias sobre la Teoría de Números Algebraicos (Teorema 89).