Convergencia uniforme y puntual de $\frac{\sin(nx)}{n}$ y $\frac{x\cos(nx)}{n}$

Question

Aquí hay algunos ejercicios que he encontrado:

Demostrar que o refutar que es uniforme y/o convergente puntualmente para lo siguiente:

1. $f_n(x)=\frac{sin(nx)}{n}$ definido en $(0,+\infty)$
2. $f_n(x)=\frac{x\cos(nx)}{n}$ definido en $(0,+\infty)$

Prueba 1: Mi opinión es que $f_n$ es puntual con $f(x)=\lim_{n \to \infty}f_n(x)=0$ . Podemos entonces demostrar la convergencia uniforme utilizando la prueba del supremum

$$ \sup_{t \in (0,+\infty)}\left|\frac{\sin(nt)}{n}\right|=\frac{1}{n} \to 0 \text{ as } n \to \infty $$

Prueba 2: Parece que tenemos convergencia puntual con $\lim_{n \to \infty}f_n(x)=0$ . Sin embargo, la convergencia uniforme no se cumple por la prueba del sumo

$$ \sup_{t \in (0,+\infty)}\left|\frac{t\cos(nt)}{n}\right|\to \infty \text{ as } n \to \infty $$

¿Qué opina de mi método?

Answer 1

La primera es correcta, la segunda es incorrecta. Yo resolvería las dos así: El $\sin$ y el $\cos$ tienen un máximo de $1$ . Así que podemos escribir $$\lim_{n\to\infty}\left\lvert\frac{\sin nt}{n}\right\rvert \leq \lim_{n\to\infty}\left\lvert\frac{1}{n}\right\rvert \to 0, $$ y $$\lim_{n\to\infty}\left\lvert\frac{t\cos nt}{n}\right\rvert \leq t\cdot\lim_{n\to\infty}\left\lvert\frac{1}{n}\right\rvert\to0.$$

También sería un buen ejercicio comprobar el límite de $n\to0$ . Pero eso se lo dejo a usted.