Sugerencia para probar $H_n=\sum_{i=1}^n\binom{n}{i}\frac{(-1)^{i+1}}i$ , donde $H_i=\sum_{k=1}^i\frac1k$

Question

He estado tratando de probar la siguiente identidad: $$H_n = \sum_{i=1}^{n} \binom{n}{i}\frac{(-1)^{i+1}}{i}$$ donde $$ H_i = \sum_{k=1}^{i} \frac{1}{k} = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \cdots + \frac{1}{i} $$ es el $i$ -número armónico.

He intentado aplicar otras identidades, pero sin éxito. Lo que quiero conseguir es pero una pista sobre cómo solucionarlo, no es la solución . Por favor, tenga en cuenta que deseo probar esta identidad mediante métodos elementales es decir sin cálculo, álgebra lineal ni nada de nivel universitario .

Estaré muy agradecido por cualquier ayuda.

Answer 1

El rosca enlazado por Brian Moehring tiene un montón de buenas respuestas a esto (aunque no pistas), pero me gustaría añadir una más que podría ayudar a proporcionar una idea de por qué la fórmula funciona.

En el diagrama siguiente, se puede ver que $H_5$ es igual al área de la unión de todos los rectángulos (por alguna constante). Si utilizas el principio de exclusión de la inclusión para hallar esta área, puedes llegar a la fórmula de tu pregunta.

Answer 2

\begin{align*} H_n&=\sum_{k=1}^n \dfrac{1}{k}= \sum_{k=0}^{n-1} \int_0^1 x^kdx\\ &=\int_{0}^{1}\dfrac{(x-1+1)^n-1}{x-1}dx=\int_{0}^{1}\dfrac{dx}{1-x}+\sum_{k=0}^n\binom{n}{k}\int_{0}^{1}\dfrac{(x-1)^{k}1^{n-k}}{x-1}dx\\ &=\sum_{k=1}^n\binom{n}{k}\int_{0}^{1}(x-1)^{k-1}dx =\sum_{k=1}^n\binom{n}{k}\cdot \dfrac{(-1)^{k-1}}{k} \end{align*}