Estoy tratando de resolver esta ecuación, sabemos $A, B, Q,\phi\in\mathbb{R}$ .
\begin{eqnarray} T''(x) &=& \phi (T(x)-Q) \\ T(0)&=& A\\ T(b)&=&B \end{eqnarray}
Así que la solución será la suma de una solución particular y una solución general.
Resolviendo $$r^2-\phi=0$$ tenemos $r=\sqrt{\phi}:=p$
Así que la solución general tiene la forma
$$ T(x)= K_1 e^{xp}+K_2 e^{-xp} $$
Si intentamos una constante, $T_p$ como solución particular tenemos
$$0=\phi(T-Q)$$ así que
$$T_p=Q$$
Entonces la solución es
$$T(x) = Q+K_1 e^{xp}+K_2 e^{-xp} $$
Ahora aplicamos la condición, así que este es el sistema que necesito resolver: \begin{eqnarray} T(x) &=& Q+K_1 e^{xp}+K_2 e^{-xp} \\ T(0)&=& A\\ T(b)&=&B \end{eqnarray}
Donde sabemos $A,B,Q$ y $p$ .
así que lo que tenemos que hacer es sustituir $A$ y $B$
por lo que tenemos \begin{eqnarray} A &=& Q+K_1 +K_2 \\ B &=& Q+K_1 e^{bp}+K_2 e^{-bp} \end{eqnarray}
Y resolver este sistema para encontrar $K_1$ y $K_2$ .
Si utilizamos $\cosh(xp)$ y $\sinh(xp)$ notación, es decir
$$T(x) =Q+K_1 e^{xp}+K_2 e^{-xp} $$ genera el mismo espacio que
$$T(x) =Q+C_1 \cosh(xp) + C_2\sinh(xp)$$
así que ahora podemos tener un poco de ventaja, porque:
\begin{eqnarray} A &=& Q+C_1 \\ B &=& Q+C_1 \cosh(bp)+C_2 \sinh(bp) \end{eqnarray}
Así que tenemos $C_1=A-Q$ y luego
$$B-Q=(A-Q)\cosh(bp)-C_2 \sinh(bp)$$
Y aquí es que no sé cómo continuar,
1) ¿Está permitido?
$$C_2=\frac{Q-B+(A-Q)\cosh(bp)}{\sinh(bp)}$$
Quiero decir, ¿estamos dividiendo por cero? $$\sinh(x)=0\leftrightarrow e^x=e^{-x}\leftrightarrow x=i\pi n$$
Creo que en mi problema no se permiten los números complejos, ¿es esto correcto?
2) si el paso 1) es correcto entonces tenemos
$$C_2=\frac{Q-B+(A-Q)\cosh(bp)}{\sinh{bp}}$$
por lo que la solución para $T(x)$ es
$$T(x)=Q+(A-Q)\cosh(xp)+\frac{Q-B+(A-Q)\cosh(bp)}{\sinh(bp)}\sinh(xp)$$ ¿Hay alguna manera de simplificar $T(x)$ a alguna forma más limpia.
3) Ahora, si cambiamos las condiciones por estas:
\begin{eqnarray} T'(0)&=& A \\ T'(b) &=& B \end{eqnarray}
¿Cómo hay que continuar? De esta manera(?): como $$T(x) =Q+C_1 \cosh(xp) + C_2\sinh(xp)$$ entonces $$T'(x)= Q +C_1 p\sinh(xp) + C_2 p \cosh(xp)$$
y resolver este sistema (?): \begin{eqnarray} T'(0)&= & A= Q + C_2 p \\ T'(b) &=& B= Q +C_1 p\sinh(bp) + C_2 p \cosh(bp) \end{eqnarray}
¡Ayuda con 1), 2) y 3) por favor!
Gracias. Perdón por mi inglés.
