Prueba de la no diferenciabilidad del movimiento browniano mediante tiempos locales

Question

Estaba leyendo el capítulo 3 de Brownian Motion and Stochastic Calculus de Karatzas y Shreve y el ejercicio (6.6) nos pide que demostremos lo siguiente(también incluyo la captura de pantalla de la definición 6.3)

He intentado infructuosamente llegar a una contradicción que según el autor es una prueba fácil pero no he tenido suerte. ¿Puede alguien ayudarme?

Answer 1

Aquí hay una propuesta, realmente no estoy seguro al 100% de que esté bien, así que esperemos a las críticas de la audiencia del foro antes de aceptar esta solución :

Así que vamos a arreglar $\omega \in \Omega^*$ donde $\Omega^*$ es tal que $L_t(x)$ continua. Ahora tenemos por definición :

$$\Gamma_t[B=C.h,\omega] =\int_{C.h}L_t(x)dx$$ (donde $B=C.h$ es la bola de centro $W_t(\omega)$ y el radio $C.h$ omitiendo la dependencia en $\omega$ y todo aquí siendo determinista).

También disponemos de : $$\Gamma_{t+h}[C.h,\omega] =\int_{C.h}2.L_{t+h}(x)dx$$

Ahora usando el hecho de que :

$$\lim\limits_{h\to 0}\frac{1}{h}(\Gamma_{t+h}[C.h]-\Gamma_{t}[C.h]) =\lim\limits_{h\to 0} \frac{1}{h}(\int_t^{t+h}1_{W_s \in C.h}ds)= \lim\limits_{h\to 0} \frac{h}{h} = 1 $$ Recuerda que por un razonamiento absurdo la hipótesis $W_s-W_t<C.h, \forall s\in (t-h,t+h)$ y $h<\delta$ tiene en $\omega$ para que $1_{W_s \in C.h}=1 \forall s\in (t,t+h)$ .

También disponemos de :

$$\lim\limits_{h\to 0} \frac{1}{h}(\Gamma_{t+h}[C.h]-\Gamma_{t}[C.h])= \lim\limits_{h\to 0} \frac{2}{h}(\int_{C.h} L_t(x) - L_{t+h}(x) dx) $$

Pero por la continuidad conjunta de $L$ en t y x, para cualquier $\epsilon>0$ existe $\eta_1, \eta_2$ para que podamos tener $\forall x,y \in B(W_t(\omega), \eta_1)$ y $0<h<\eta_2$ :

$$L_{t}(x)-\epsilon <L_{t+h}(y)<L_{t}(x)+\epsilon $$

Así que tomando $h< \eta_2\wedge \eta_1/C$ obtenemos :

El uso de esto en la expresión anterior nos lleva a :

$$-2.C\epsilon=-\frac{2}{h}(\int_{C.h} \epsilon dx)<\frac{2}{h}(\int_{C.h} L_t(x) - L_{t+h}(x) dx)<\frac{2}{h}(\int_{C.h} \epsilon dx)= 2.C\epsilon$$

Implicando como $\epsilon$ es arbitrario que $\lim\limits_{h\to 0} \frac{1}{h}(\Gamma_{t+h}[C.h]-\Gamma_{t}[C.h])=0$ , lo que pone de manifiesto la contradicción requerida.