Cómo encontrar el valor mínimo de $px+qy$ cuando $xy=r^2$ ?

Question

La pregunta dice: "Encuentra el valor mínimo de $px+qy$ cuando $xy=r^2$ ."

No se ofrece información sobre $p,q,x,\text{and }y.$ Sin embargo, asumiendo lo obvio, intenté usar este pero no soy capaz de reducirlo a la respuesta deseada, que es $2pq\sqrt{3}$ .

¿Alguna idea?

Answer 1

Por am-gm, tenemos

$px+qy \geq 2 \sqrt{pqxy} =2r \sqrt{pq}$

Answer 2

Asumir ciegamente que todas las variables son mayores que $0$ (si no, puede enviarlo a $-\infty$ ) se puede escribir $px+qy=px+qr^2/x$ . Diferenciando y ajustando a cero se obtiene $x=qr/p$ y al enchufar se obtiene $px+qy=2r\sqrt{pq}$ . ¿Es su $\sqrt{3}$ se supone que es $r$ ?