Para mí, formal significa trabajar con herramientas algebraicas o analíticas sin preocuparse por las hipótesis técnicas. Un ejemplo representativo: supongamos que se quiere demostrar que $exp'=exp$ . Usted escribe :
$$exp(x)'=(\sum_n\frac{x^n}{n!})'=\sum_n(\frac{x^n}{n!})'=0+\sum_{n\geq 1}\frac{x^{n-1}}{(n-1)!}=\sum_n\frac{x^n}{n!}=exp(x) $$
Por supuesto, aquí he intercambiado la derivación y la suma sin invocar ningún teorema por lo que es "formal".
Este significado está bien representado por el uso de "series de potencia formales" (series de potencia en las que no nos importa la convergencia). En realidad, hace falta algo de matemática rigurosa para asegurarse de que el razonamiento con series de potencias formales es válido...
El pensamiento informal significa, básicamente, que se necesita un poco de conocimiento antes de entrar en un problema. La solución no sale de la nada, sino que es la traducción de una intuición (una visión general de "cómo funcionan las cosas"). Por ejemplo, si uno piensa en un resultado muy simple, si $A$ y $B$ dos subconjuntos de un subconjunto finito $C$ y se intenta demostrar que $|A\cup B|=|A|+|B|-|A\cap B|$ .
El pensamiento informal estaría aquí para dibujar $A$ y $B$ cuenta todos los elementos de $A$ todos los elementos de $B$ y se ve que en realidad los elementos de $A\cap B$ (y sólo esos) se contarán dos veces, por lo que tendremos que descartarlos una vez.
La contrapartida rigurosa en este caso sería utilizar funciones indicadoras.
En resumen, tanto el razonamiento formal como el informal no son rigurosos.
La diferencia entre ambos es que para el razonamiento formal sólo tienes fe en el formalismo matemático y asumes que todo funciona lo mejor posible, llegas hasta donde puedes y tratas de ver si llegas a una conclusión interesante (para ser probada después).
Mientras que en un razonamiento informal intentas alejarte lo máximo posible del formalismo matemático e intentas expresar de la forma más clara posible (con frases en inglés o imágenes o lo que sea...) la idea que hay detrás del formalismo matemático.
