¿Qué es exactamente $\hat{\psi}^\dagger(x)$? Un operador o una función?

Question

Hace poco he leído Cohen-Tannoudji en la mecánica cuántica para tratar de entender mejor la notación de Dirac. Una tarea problema me está dando algunos problemas, sin embargo. No estoy seguro de si he aprendido lo suficiente aún para entender esto.

La creación de operador se define como:

$$\hat{a}_k^\dagger = (2 \pi)^{-1/2}\int dx\,e^{ikx} \hat{\psi}^\dagger(x)$$

De mis notas, he a $\hat{\psi}(x)$ definido (en una dimensión) como:

$$\hat{\psi}^\dagger(x) \lvert 0\rangle = \lvert x\rangle $$

• Cohen-Tannoudji dice lineal de operadores de tomar un ket vector y asociarlos con otro ket vector dentro de $\mathscr{E}$ espacio. $\hat{\psi}^\dagger(x)$ no se ve como un operador lineal a mí. Se ve como un operador de la función de los híbridos. ¿Cómo se llama esta cosa? ¿Cómo es rigurosamente definido? ¿Por qué es $x$ no es un subíndice?

Asumiendo que es un operador lineal y de procedimiento, de todos modos, vamos a aplicar $\hat{a}_k^\dagger$ a algunos ket vector:

$$\hat{a}_k^\dagger = \left( (2 \pi)^{-1/2}\int dx\,e^{ikx} \hat{\psi}^\dagger(x) \right)\lvert\phi\rangle$$

Supongo que el orden de las operaciones es la aplicación de $\hat{\psi}^\dagger(x)$$\lvert\phi\rangle$, luego se multiplica por $e^{ikx}$, a continuación, integrar, luego se multiplica por $(2\pi)^{-1/2}$

• ¿Cómo puedo integrar sobre el ket vector $e^{ikx}\hat{\psi}^\dagger(x)\lvert\phi\rangle$? Este tipo de operación no parece estar definido. Puedo integrar sobre los números complejos, pero no las tfe. Todavía no entiendo por qué $k$ es un subíndice sino $x$ es un operador de la función de los híbridos de la variable. Lo que me estoy perdiendo aquí?

Answer 1

Es sólo una cuestión de notaciones. Por alguna razón, los físicos tiende a la posición de la nota utilizando una notación de función $\hat \psi(x)$, y el impulso con un subíndice $\hat a_k$. Es sólo una cuestión de gusto,$\hat \psi(x)=\hat \psi_x$.

Usted parece estar confundido por el uso de un valor continuo para el "índice" $x$. Si usted prefiere (y creo que es lo que los matemáticos), puede discretizar el espacio y la nota $x$ como una posición discreta. A continuación, el operador $\hat \psi_x^\dagger$ crea una partícula en la posición $x$ y actúa en un espacio de Fock para cada punto en el espacio. Digamos que hay tres puntos en nuestra discretización : $x_1$, $x_2$, $x_3$ y tomemos nota de que el número de partículas en estos puntos como $|n_1,n_2,n_3\rangle$. Entonces $\hat \psi_{x_1}^\dagger|0,0,0\rangle=|1,0,0\rangle$, $\hat \psi_{x_2}^\dagger|0,0,0\rangle=|0,1,0\rangle$, etc.

También podemos superponer estos tfe : $|1,0,0\rangle+|0,1,0\rangle=\hat\psi_{x_1}^\dagger|0,0,0\rangle+\hat\psi_{x_2}^\dagger|0,0,0\rangle=\sum_i \alpha_i \hat\psi_i^\dagger|0,0,0\rangle=\hat a^\dagger|0,0,0\rangle$, con el correspondiente número complejo $\alpha_i$. Vemos que $\hat a^\dagger=\sum_i \alpha_i \hat\psi_i^\dagger$

En el continuum límite (número infinito de puntos en el espacio), por lo general el uso de la "notación de función" $\psi(x)$, y las sumatorias de los estados/operadores de convertirse integrales. La transformada de Fourier de un operador es simplemente la suma de los operadores con peso $e^{i k x}$.

Answer 2

Cohen-Tannoudji dice lineal de operadores de tomar un ket vector y asociarlos con otro ket vector dentro de $\mathscr{E}$ espacio.

Esa es la definición correcta de un operador. En el ámbito de aplicación de la mecánica cuántica, nada que actúa en un estado cuántico (es decir, ket) para producir otro estado cuántico, en otras palabras, cualquier cosa que pueda ser escrito como

$$\text{[stuff]}\lvert a\rangle = \lvert b\rangle$$

es un operador. Y suponiendo que la transformación de la regla que se denota por a $\text{[stuff]}$ satisface las condiciones de linealidad, es una llamada de un operador lineal. Pero la pregunta que te estás preguntando, no es realmente relevante, sea o no el operador es lineal.

De todos modos, tenemos una regla de transformación en las tfe, que he denotado $\text{[stuff]}$. Puedo usar esta notación para hacer el punto de que, literalmente, cualquier combinación de símbolos que se produce en este contexto se representan de un operador. No tiene que ser una sola letra, no tiene que tener un sombrero sobre él. Seguro, $A$ puede representar un operador ($A\lvert a\rangle = \lvert b\rangle$), pero también se puede llamar a un operador $\text{Bob}$ (en $\text{Bob}\lvert a\rangle = \lvert b\rangle$), o la etiqueta con una cara sonriente. O, en este caso, se puede etiquetar un operador $\hat{\psi}^\dagger(x)$, lo que usted debe pensar en primer lugar, como sólo una combinación de símbolos que las etiquetas de un operador.

Por supuesto, hay una razón por la que Cohen-Tannoudji et al. elija de esa particular combinación de los símbolos de la etiqueta de su operador. Lo que se trata es no sólo una sola, el operador fijo, sino todo un conjunto infinito de los operadores, uno asociado a cada punto del espacio $x$. En otras palabras, $\hat{\psi}^\dagger(x)$ es el resultado de una asignación de puntos a los operadores. Esto también se conoce como operador de valores de campo. La asignación está implícitamente definido por la regla

$$\hat{\psi}^\dagger(x)\lvert 0\rangle = \lvert x\rangle$$

o en palabras,

$\hat{\psi}^\dagger$ mapas el punto de $x$ para el operador que transforma el estado de $\lvert 0\rangle$ en el estado $\lvert x\rangle$

(Estoy asumiendo que $\lvert x\rangle$ $\lvert 0\rangle$ ya se han definido adecuadamente, y que el operador de espacio es definido adecuadamente y/o restringido, de tal forma que hay una única opción de operador que transforma la última en la anterior).

Cuando usted tiene un operador de campo, se puede utilizar en muchas de las mismas maneras que usted podría utilizar cualquier otra función; en particular, se puede utilizar en una integral. Recuerde que una integral es, en principio, de una suma de un número infinito de aportaciones infinitesimales. Cuando se escribe algo como

$$c = \int\mathrm{d}x f(x)$$

informático del producto $f(x)\mathrm{d}x$ en cada una de las $x$ y la adición de todos ellos. Tienen una regla para sumar los valores de la función, así que usted puede dar vuelta a esta integral en un número. Del mismo modo, una integral como

$$\lvert c\rangle = \int\mathrm{d}x\lvert x\rangle$$

es el "ponderado" la suma de todas las tfe $\lvert x\rangle\mathrm{d}x$ (donde $\mathrm{d}x$ es el "peso") asociados a diferentes posiciones. A diferencia del caso anterior, usted no puede ser capaz de simplificar esta integral como es, aparte de hacer un nuevo símbolo ($\lvert c\rangle$), pero se puede "guardar" hasta un punto posterior en el cálculo de donde son capaces de hacer algo con él. Por ejemplo, si estás más tarde pidió a calcular $\langle y\rvert c\rangle$, puede usar la definición de $\lvert c\rangle$ escribir

$$\langle y\rvert c\rangle = \langle y\rvert\biggl(\int\mathrm{d}x\lvert x\rangle\biggr) = \int\mathrm{d}x\langle y\rvert x\rangle = \int\mathrm{d}x\delta(y - x) = 1$$

o, equivalentemente,

$$\langle y\rvert c\rangle = \langle y\rvert\biggl(\int\mathrm{d}x\hat{\psi}^\dagger(x)\lvert 0\rangle\biggr) = \int\mathrm{d}x\langle y\rvert \hat{\psi}^\dagger(x) \lvert 0\rangle = \int\mathrm{d}x\delta(y - x) = 1$$

O si eres más tarde pidió a aplicar un operador a $\lvert c\rangle$, suponiendo que el operador es lineal (y por tanto los desplazamientos con la integración), usted puede usar el mismo tipo de truco.

Finalmente, mencionó usted está confundido en cuanto a por qué $\hat{\psi}^\dagger(x)$ está escrito en una forma que se parece a una función, sino $\hat{a}_k^\dagger$ está escrito con un subíndice. Eso es sólo una elección estética; ambos significan la misma cosa. Como $\hat{\psi}^\dagger(x)$ es el operador asociado con el punto de $x$ por algunos asignación determinada, por lo $\hat{a}^\dagger_k$ es el operador asociado con el número de onda $k$ por algunos asignación determinada. Usted puede escribir como $\hat{a}^\dagger(k)$, o escribir a la otra como $\hat{\psi}^\dagger_x$.

Answer 3

Un operador es una función de¹, nada más. No cualquier función es un operador (en el sentido de la palabra es usada en QM); en particular, $\hat\psi^\dagger$ es no un operador. Es una función de mapeo de coordenadas espaciales $x$ a los operadores! Podríamos escribir $$ \hat\psi^\daga \colon\quad \mathbb{R}^3 \(\mathscr{E} \a \mathscr{E}). $$ Por lo tanto, $\hat\psi^\dagger(x) \colon \mathscr{E} \to \mathscr{E}$, es decir, no es sólo un operador. Ahora, que la notación con varias flechas es (por desgracia, la OMI) rara vez se utiliza en la física, pero se usa todo el tiempo en la programación funcional. Echa un vistazo a cualquier pieza de Haskell código, y usted encontrará el un montón de tipo de firmas algo como

map :: (a -> b) -> ([a] -> [b])

lo que se ve, supongo, un poco desconcertante al principio. Pero es bastante simple en realidad; a través de una muy fundamental de la técnica matemática llamada (onu), alarmada, sabemos que una función que devuelve una función es básicamente una función de dos argumentos: $$ A \(B \C) \simeq (a,B) \C $$ Aplicado a la Haskell ejemplo, esto nos dice que el map función podría ser escrito en un lenguaje de programación con C-como de la sintaxis, algo así como²

b[] map( (*b)(a) f, a[] vals );

Aplicado a nuestro mecánica cuántica tema, significa también se podrían escribir $$ \hat\psi^\daga \colon\quad (\mathbb{R}^3, \mathscr{E}) \a \mathscr{E} $$

$\hat\psi^\dagger$ es una función de tomar las coordenadas espaciales y una ket vector, y la devolución de un ket vector.

...que es obvio. La única diferencia es que ahora se escribe $\hat\psi^\dagger(x, |0\rangle)$ en lugar de $\hat\psi^\dagger(x)|0\rangle$. El último, la forma habitual de escribir es, resulta mucho más conveniente, pero es realmente sólo un trivial sintaxis de transformación.

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¹ De hecho, ilimitado de operadores, tales como la posición en el continuo espacio no funciones en todo el espacio de Hilbert. Son todavía funciona, pero sólo en un subconjunto denso; en la física, tal sutileza es a menudo descuidado.

² En realidad validez de C++, puede ser

template<typename A, typename B>
std::list<B> map(std::function<B(A)> f, std::list<A> vals);

Answer 4

Yo no creo que sea particularmente útil para distinguir un operador de una función, pero tal vez esta ayuda: Si $x$ es una variable de tipo $\mathbb R$ $V$ es un espacio vectorial, entonces por un plazo fijo $x_0\in \mathbb R$, el objeto de $A(x_0)$ es un operador de tipo $V\to V$. El objeto de $A(x)$ $x$ gratis es de tipo $\mathbb R\to(V\to V)$.

Algo más para pensar: Considere la ecuación de Schrödinger $$\forall t.\ i \hbar\ \dot \Psi (t)=H \Psi(t)$$ con $\dot \Psi (t):=\frac{\mathrm d\Psi}{\mathrm dt} (t)$. Para cada uno de ellos fijo $t_0$ el objeto de $\Psi(t_0)$ es un elemento del espacio de Hilbert $\mathcal H$. Los tres objetos $\Psi$, $\dot \Psi$ y $H \Psi$ todos son de tipo $\mathbb R\to\mathcal H$. El objeto de $\frac{\mathrm d}{\mathrm dt}$ es de tipo $(\mathbb R\to\mathcal H)\to(\mathbb R\to\mathcal H)$ y a partir de la ecuación de Schrödinger se diría que así es $H$. A lo que voy es que en la definición de Hamiltonianos, generalmente objetos de $H':\mathcal H\to \mathcal H$. Por ejemplo, si se definen $H':=\sum_k \hbar\omega_k\, a_k^\dagger a_k$. Para obtener la expresión de la derecha en la ecuación de Schrödinger, de tal $H'$, primero debe arreglar tomar un vector $\Phi$ y corregir $t$, evaluar a $\Psi(t)$ que es de tipo $\mathcal H$ (y no del tipo $\mathbb R\to\mathcal H$), a continuación, aplique $H'$ y, finalmente, (lambda) resumen la variable $t$ nuevo. Por lo $H=\lambda\Psi. \lambda t$. Por lo $H=\lambda\Psi.\,\lambda t.\,H'\left(\mathrm{eval}(\Psi,t)\right)$.

Vea Aplicar#Universal_property, Lambda_abstraction.

Answer 5

Ya tiene un montón de grandes respuestas a tu pregunta principal, pero todavía hay claridad de que se tenía con respecto a su punto final:

¿Cómo puedo integrar sobre el ket vector $e^{ikx}\hat{\psi}^\dagger(x)\lvert\phi\rangle$? Este tipo de operación no parece estar definido. Puedo integrar sobre los números complejos, pero no las tfe.

Esencialmente, tu pregunta se reduce a esto:

Tengo una función de $f:\mathbb R\rightarrow\mathcal H$ que lleva los números reales $x\in\mathbb R$ en vectores $|f(x)\rangle$ en algunas espacio de Hilbert $\mathcal H$. Es posible definir la integral $$|F\rangle=\int\text dx \,|f(x)\rangle\text ?$$

Para responder a esto, me gustaría señalar que la pregunta en sí misma es independiente de si $\mathcal H$ es finito-dimensional o no (aunque la respuesta puede ser). En particular, para $\mathcal H=\mathbb R^3$ y el cambio de $x$ durante algún tiempo $t$, se puede reformular como este, dicen que el descubrimiento del impulso $\mathbf I=\int_{t_1}^{t_2}\mathbf F(t)\text dt$ debido a alguna fuerza de $\mathbf F(t)$.

Cómo, entonces, es uno de abordaje de un problema? Una forma de hacerlo es considerar las sumas de Riemann de la función más fino y más fino cuadrículas, y este va a estar bien donde está definido, en tanto lo finito y lo infinito-dimensional de los casos. Sin embargo, ninguna de gravedad de la teoría de la integración debe ser realmente tratar con medidas de Lebesgue y las integrales de usar, ya que estos están en el corazón de todos la fuerte convergencia teoremas.

El uso de la fuerte maquinaria de Lebesgue de la integración, el derecho aproximación resulta ser considerado tomar en la ingenua idea:

Hacerlo componente por componente.

Esto es generalmente lo que terminan haciendo en 3D en el espacio euclídeo de todos modos, ¿no? Diciendo: "componentes", aunque, de cierta manera, implica un compromiso con una cierta base. Para eliminar esto, usted debe ver "componentes" simplemente como el valor real de las funciones lineales en el espacio de Hilbert: $F_i=\hat{\mathbf e}_i \cdot \mathbf F$. Lo fundamental, entonces, es lineal funcionales, que viven en el espacio dual $\mathcal H^\ast$, de lo contrario se conoce como sostenes.

Para poner esto en una base más firme, entonces, su integral $|F\rangle$ es definido para coincidir con el componente sabio integral de la función en cualquier base.

La integral de la $|F\rangle=\int\text dx \,|f(x)\rangle$ de un vector de valores de la función $f:\mathbb R\rightarrow\mathcal H$ es el vector de la $|F\rangle$ tal que $$\langle \phi|F\rangle=\int\text dx \,\langle\phi|f(x)\rangle$$ para todos los brasieres $\langle \phi|\in\mathcal H^\ast$, si existe un vector.

Ahora, esto se traduce en la (difícil) problema de la integración de ket-funciones con valores en la (más fácil) problema de la integración de valores complejos de funciones. Por supuesto, esto necesita mucha más precisión en cuanto a que las clases de bras está permitido y qué pasa si algunos de los integrales son indefinidos o divergentes, pero estas son en mi opinión no detalles cruciales.

Sin embargo, esto sólo se desplaza el problema y lo esconde en el interior de la comadreja frase "si es que existe". Usted no puede simplemente definir su problema! Dada la definición anterior, usted todavía tiene la carga de teorema de la prueba de demostrar que su definición es lo suficientemente general como para incluir las clases de funciones que pueden ser de utilidad. He aquí un breve esbozo de cómo demostrar que la integral no existe, y en qué condiciones:

• Definir algún tipo de aceptable clase de bras $\langle \phi|$ en el que desea proyectar.
• Definir "integrable ket funciones con valores" como los $|f(x)\rangle$tal de que el complejo de la función con valores de $\langle \phi|f(x)\rangle$ es Lebesgue integrable para todo aceptable $\langle \phi|$.
• A continuación, puede definir la integral de la $\int\text dx \,\langle\phi|f(x)\rangle$ para todos los aceptables $\langle \phi|$. Este es lineal en $\langle \phi|$ es continua (así que usted puede alinear más de infinitas sumas así) para que se comporten bien lo suficientemente $|f(x)\rangle$.
• Este, a continuación, se define un continuo lineal mapa de $\langle\phi|\mapsto\int\text dx \,\langle\phi|f(x)\rangle\in \mathbb C$; es decir, un elemento de la doble doble de la $\mathcal H^{\ast\ast}$.
• Para reflexiva espacio de Hilbert, que el doble doble de canónicamente isomorfo a $\mathcal H$, lo que significa que el elemento de la doble doble de la que corresponde a algunos ket en $\mathcal H$.
• Bingo! que ket es $|F\rangle$.