Hay un artículo muy bueno de J.P.Serre sobre la propiedad de subgrupos de congruencia para $SL_2$ para $S$ -grupos aritméticos ( https://www.jstor.org/stable/1970630 ). Si uno mira la prueba de la Proposición 3 allí, Serre de hecho demuestra el siguiente resultado.
Dejemos que $a,b \in {\mathbb N}$ sean dos enteros coprimos, y $\phi$ sea la función totiente de Euler. Para cada $x\in {\mathbb N}$ podemos considerar $\phi (ax+b)$ . Consideremos ahora el d.c.g. del conjunto infinito de números
$$N(a,b)= g.c.d. \{ \phi (ax+b): x=1,2,3,\cdots \}.$$ Ahora $N(a,b)$ parece depender de $a,b$ pero no hace mucho: $N(a,b)$ divide $8$ .
La prueba de esto utiliza el teorema de Dirichlet sobre la infinitud de los primos.
Si ${\mathbb Q}$ se sustituye por un campo numérico $K$ y $a,b$ son números enteros coprimos, defina $\phi (ax+b)$ para ser el número de unidades en el anillo de cociente $O_K/(ax+b)$ , entonces el d.c.g. análogo divide $2\mu _K^2$ donde $\mu _K$ es el número de raíces de la unidad en $K$ .
Mi pregunta es : si reemplazo el polinomio lineal $ax+b$ por cualquier polinomio $P(x)=a_0+ a_1x+\cdots+ a_nx^n$ con los números $a_0,a_1, \cdots, a_n$ co-prima y $a_n\neq 0$ entonces hace el correspondiente d.c.g. $$g.c.d \{\phi (P(x)):x=0,1,2,..\}$$ depende (es decir, está limitada por una constante dependiente) sólo del grado $n$ y no en el polinomio?
La cuestión surgió en una pregunta sobre grupos discretos, que pudo ser resuelta, pero esta cuestión quedó pendiente. No tengo ninguna aplicación para esto, pero me pareció interesante por sí sola.
[Editar] Debería haber añadido el enlace https://arxiv.org/abs/math/0409377 .
[Editar] El siguiente documento https://arxiv.org/abs/1909.10808 responde afirmativamente (incondicionalmente para $n=2$ y modulo una conjetura bien conocida en el caso general). Así que la respuesta es sí.
