Inversa de la cuña de una matriz

Question

Dejemos que $V$ ser un $n$ -espacio vectorial de dimensiones. Entonces, de la manera habitual, definimos $\wedge^2 V$ para ser el espacio vectorial abarcado por los elementos $v_1 \wedge v_2$ donde $v_1, v_2 \in V$ de forma que satisfagan las propiedades habituales

$$(cu+dv)\wedge w = c(u\wedge w) + d(v \wedge w)$$ $$u \wedge (cv+dw) = c(u\wedge v) + d(u\wedge w)$$ $$u\wedge v = - v\wedge u$$

Dejemos que $M$ sea una matriz que represente una transformación lineal de $V$ . Entonces podemos definir $\wedge^2M$ como transformación lineal de $\wedge^2 V$ por

$$\wedge^2 M (u \wedge v) = (Mu)\wedge(Mv)$$

Si $M$ es invertible entonces también lo es $\wedge^2 M$ con el inverso $\wedge^2(M^{-1})$ . Mi pregunta es, ¿es cierto lo contrario? Es decir, si $\wedge^2 M$ es invertible entonces esto implica $M$ ¿es invertible?

Además, si definimos $\wedge^k V$ como el lapso de $k$ cuñas de elementos de $V$ entonces podemos definir una transformación lineal $\wedge^k M$ , de la misma manera. ¿Es cierto en este contexto que $M$ es invertible si y sólo si $\wedge^k M$ ¿es invertible?

Sé que esto es cierto para cuando $k = n = \dim(V)$ porque entonces $\wedge^n V$ sería un espacio vectorial unidimensional y $\wedge^n M$ sería simplemente la multiplicación por $\det{M}$ . Así que, $\wedge^n M$ es invertible si y sólo si $\det{M} \not = 0$ si y sólo si $M$ es invertible.

Sin embargo, siento que la prueba en $M$ es invertible si y sólo si $\det{M}\not = 0$ es el argumento esbozado anteriormente, por lo que sería circular y no serviría de nada.

Answer 1

Se puede demostrar que esta afirmación es cierta en un espacio métrico; no conozco ninguna prueba que se aplique fuera de un espacio métrico (o pseudométrico).

Esta prueba se basa en una fórmula de inversión conocida. Ésta podría escribirse en términos del operador dual de Hodge -denominado $\star$ --o en términos de un producto de álgebra clifford con algún $n$ -vector $\epsilon$ . Aquí utilizaré este último.

Para $B_{(k)} \in \bigwedge^k V$ La fórmula de inversión es

$$\bigwedge^k M^{-1}(B_{(k)}) = \left[\bigwedge^{n-k} M^*(B_{(k)} \epsilon) \right] \epsilon^{-1} [\det M]^{-1}$$

Para el caso $k=1$ Esto genera la fórmula inversa habitual en términos de la matriz adjunta.

El producto con $\epsilon$ es métrico cuando $\epsilon$ es un $n$ -vector--aunque en principio, si uno elige la forma de volumen en su lugar, tal vez esto podría ser visto como una operación global no métrica.

En cualquier caso, la presencia de $\det M$ en la fórmula significa que $\det M$ debe ser distinto de cero siempre que exista esta inversa.