Verificación de la solución de $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{b^{2n^2}}{n^n}$

Question

Quiero estudiar $$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{b^{2n^2}}{n^n}\qquad\text{with $ b\in\mathbb{R} $.}$$ Tengo una serie de términos positivos y por eso he decidido aplicar la prueba de la raíz.

En particular: $$\Bigg(\frac{b^{2n^2}}{n^n}\Bigg)^{\frac{1}{n}}=\Bigg(\frac{b^{2n}}{n}\Bigg)\to\begin{cases} 0& \text{if $-1\leq b\leq 1$}\\ \infty& \text{if $b<-1\vee b>1$.}\end{cases}$$ Así que si $-1\leq b\leq 1$ entonces la serie converge; en caso contrario, para $b<-1\vee b>1$ la serie diverge.

Pregunta: ¿es correcto mi intento?

Answer 1

Porque en general me opongo al uso de Math SE como medio para comprobar las soluciones a los problemas de los deberes (el solución-verificación a pesar de la etiqueta), voy a intentar abordar algo más que la pregunta del titular ("¿Es correcto mi intento?") e intentaré abordar también algunas otras cuestiones de presentación y estilo (recordemos que el objetivo de las matemáticas es comunicar ideas). Se trata de abordar lo que considero la cuestión subyacente de todo solución-verificación preguntas: "¿Cómo puedo mejorar mi respuesta?"

Estilo y presentación

Hay un par de puntos en los que su presentación podría mejorarse. Aunque estos comentarios son una cuestión de opinión, y probablemente haya gente aquí que me lleve la contraria, voy a dar mi sugerencias. Como mínimo, son cuestiones que deberías tener en cuenta, aunque no estés de acuerdo conmigo.

• En general, creo que es mejor utilizar el lenguaje que la notación, a menos que la idea sea tan complicada o enrevesada que el lenguaje vaya a estorbar. Así, por ejemplo $$\begin{align} &{\color{red}{✗}} && \text{for $b<-1 \lor b>1$,} \\ &{\color{green}{\checkmark}} && \text{for $b < -1$ or $b > 1$.} \end{align}$$

• En esta presentación, podría ser más fácil deshacerse de la "o" por completo, y utilizar las declaraciones simplificadas " $|b|<1$ " y " $|b|>1$ ". He aquí un ejemplo en el que sería preferible una exposición más concisa y con más notación.

• Me gusta la voz imperativa (o incluso la voz pasiva) para la escritura matemática. No es necesario explicar al lector lo que usted van a hacer, o qué nosotros han hecho. Sólo hazlo. En este caso, no hace falta que expliques que vas a aplicar la prueba de la raíz. Basta con decir al lector lo que tiene que hacer y exponer el resultado.

• Piensa detenidamente en los enunciados de los teoremas que estás aplicando. La prueba de la raíz se suele enunciar como

  Dejemos que $(a_n)$ sea una secuencia y defina $$\rho = \lim_{n\to \infty} |a_n|^{1/n}.$$

  1. Si $\rho < 1$ entonces $\sum a_n$ converge absolutamente,
  2. si $\rho > 1$ entonces $\sum a_n$ diverge, y
  3. si $\rho = 1$ entonces la prueba de la raíz no es concluyente.

  Cuando aplicar la prueba de la raíz, asegúrese de que está trabajando con las fórmulas correctas y de que se aplican todas las hipótesis adecuadas. Con respecto a tu presentación, mencionas al principio de tu argumento que todos los términos son positivos, por lo que dejas de lado los valores absolutos inmediatamente; creo que puedes (a) ahorrar algunas palabras y (b) ayudar a la claridad no haciendo esto.

• Elimina los cálculos tediosos. Sinceramente, has hecho un trabajo excelente, y no tengo ninguna queja. Sin embargo, una de las cosas que los estudiantes suelen hacer es escribir cada paso computacional con un detalle insoportable, por lo que quiero señalar que este realmente no es necesario. Ten en cuenta a tu público y deja que rellene los huecos que deberían ser rutinarios.

Matemáticas

Esto depende un poco de lo que se pretendía mostrar con el ejercicio, pero me parece que has dejado fuera un caso importante: ¿qué ocurre cuando la prueba de la raíz no es concluyente? Deberías explicar por qué no te importan esos casos (quizá lo único que necesitamos saber es el radio de convergencia de esta serie), o bien resolverlos explícitamente. Dicho esto (como se señala en los comentarios más abajo), la prueba de la raíz también se ocupa de los límites.

Aparte de eso, no tengo ninguna queja.

Reescritura

Si me dieran este problema como estudiante, mi redacción sería probablemente algo parecido a lo siguiente:

Ejercicio: Determinar los valores reales de $b$ tal que la serie $$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{b^{2n^2}}{n^n}$$ converge.

Solución: Observe que $$\lim_{n\to\infty} \left| \frac{b^{2n^2}}{n^n} \right|^{1/n} = \lim_{n\to\infty} \left( \frac{|b|^{2n}}{n} \right) \xrightarrow{n\to\infty} \begin{cases} 0 & \text{if $|b|\le 1$, and} \\ \infty & \text{if $|b| > 1.$} \end{cases}$$ Por la prueba de la raíz, la serie converge absolutamente cuando $|b| \le 1$ y diverge en caso contrario.