Dejemos que $\{K_i\}_{i=1}^{\infty}$ una secuencia decreciente de conjuntos compactos y no vacíos en $\mathbb{R}^n.$ Entonces $\cap_{i = 1}^{\infty} K_i \neq \emptyset.$

Question

Dejemos que $\{K_i\}_{i=1}^{\infty}$ una secuencia decreciente de conjuntos compactos y no vacíos en $\mathbb{R}^n.$ Entonces $\cap_{i = 1}^{\infty} K_i \neq \emptyset.$

He oído hablar de una prueba que toma $x_i \in K_i.$ Entonces he construido una secuencia. Está acotada porque para cada $i$ , $x_i \in K_1$ que está acotado. Entonces hay una subsecuencia que converge. Ahí es donde me detuve. ¿Qué significa en realidad que una subsecuencia converge? ¿Y por qué el límite de dicha subsecuencia es en cada $K_i,$ mostrando que dicha intersección no es vacía.

Gracias.

Answer 1

Para cada $i\in \mathbb N$ dejar $x_i\in K_i$ ya que $K_i$ no está vacía. Como la secuencia $K_1 \supseteq K_2 \supseteq \dotsb$ está disminuyendo. De ello se desprende $(x_i)_{i\ge 1}$ está contenida en $K_1$ . Por la compacidad de $K_1$ lo siguiente $(x_i)_{i\ge 1}$ tiene una subsecuencia convergente $(x_{i_k})_{k\ge 0}$ con límite $x$ .

Para cada $n\in\mathbb N$ la subsecuencia $(x_{i_k})_{k\ge n}$ empezando por $i_n$ está contenida en $K_{i_n}$ que está cerrado. Por lo tanto, el límite $x$ también está contenido por $K_{i_n} \subseteq \dotsb \subseteq K_1$ . Como $i_n\to\infty$ para $n\to\infty$ se deduce que $x\in K_i$ para cada $i\in\mathbb N$ Es decir $x\in\bigcap_{i\in\mathbb N} K_i$ .