La respuesta a la pregunta
- ¿Son las formas diferenciales el único enfoque del cálculo multivariable?
es un NO definitivo. Las formas diferenciales son un tema de geometría diferencial o cálculo sobre variedades. Y creo que Wikipedia tiene el enfoque correcto para cálculo de variedades hablando primero de los teoremas de la función implícita e inversa, los campos vectoriales, la derivada direccional, la derivada de Lie, el corchete de Lie y otros temas importantes antes de mencionar siquiera las formas diferenciales.
Si se define el cálculo multivariable como la extensión del cálculo en una variable al cálculo en más de una variable, y se divide el cálculo en cálculo diferencial y cálculo integral, podría tener sentido una introducción a las formas diferenciales como parte del cálculo integral multivariable.
- ¿Son las "formas diferenciales" básicamente un algebraico al cálculo (multivariable)?
Es cierto que las formas diferenciales tienen importantes algebraico propiedades que son útiles para el análisis global de las variedades:
- Las formas diferenciales son capaces de ser retraídas por mapas suaves, mientras que los campos vectoriales no pueden ser empujados hacia delante por mapas suaves a menos que el mapa sea, digamos, un difeomorfismo. (Un campo vectorial sólo puede ser retraído por una inmersión si es tangencial a la variedad inmersa).
- La derivada exterior tiene la importante propiedad de que $d^2 = 0$ .
Esto conduce a secuencias exactas que permiten construir algebraico teorías cohomológicas.
- ¿Cuál sería la contrapartida de un análisis y cuáles son las ventajas y desventajas de estos dos enfoques?
Uno de los inconvenientes de las formas diferenciales para las variedades de alta dimensionalidad proviene de la maldición de la dimensionalidad. El espacio vectorial de alternancia $k$ -formas lineales sobre un $n$ -tiene dimensión $\frac{n!}{k!(n-k)!}$ . Así pues, no visualizar "correctamente" las formas diferenciales ante su ojo interior no es culpa de su imaginación, sino simplemente una de las desventajas de las formas diferenciales. En consecuencia, no hay nada malo en visualizar formas diferenciales en $\mathbb{R}^3$ como campos vectoriales.
Aunque parezca sorprendente, hay formas de evitar la maldición de la dimensionalidad. (Los métodos de Montecarlo son probablemente los ejemplos más conocidos, pero también existen métodos deterministas). Sin embargo, hay tanto material que cubrir en un curso de cálculo multivariable que la maldición de la dimensionalidad rara vez se menciona.
