¿Podemos tener una interpretación física para una ecuación de Schrodinger independiente del tiempo de esta forma?

Question

Estoy interesado en una ecuación de Schrodinger independiente del tiempo de esta forma. $$F*\psi - \frac{\hbar^2}{2m} \frac{\partial^2{\psi}}{\partial{x^2}} = E\psi$$

Aquí el producto $V\psi$ se sustituye por el convolución $F*\psi$ . Lo que quiero saber es si existe tal $F$ donde podamos asignarle algún tipo de significado físico intuitivo? Puede ser un campo o un campo cuántico o cualquier cosa exótica.

El producto sustituido por la convolución permite que ocurran un montón de cosas matemáticamente bellas, pero para empezar necesito fuertemente una interpretación física.

P.D.: Mi enfoque consiste en tomar objetos/ecuaciones matemáticamente bellos/atractivos y tratar de darles sentido en aplicaciones físicas.

Answer 1

La ecuación transformada de Fourier wrt. $\mathbf{x}$ es

$ \tilde{F}(\mathbf{k})\tilde{\psi}(\mathbf{k})+\frac{\hbar ^{2}}{2m}\mathbf{k}% ^{2}\tilde{\psi}(\mathbf{k})=E\tilde{\psi}(\mathbf{k}), $

por lo que el efecto es un $\mathbf{k}$ -de la energía, que depende de la contribución de la $E$ .

Answer 2

No entiendo por qué la derivada parcial? Si el modelo es unidimensional, entonces se puede tener la derivada ordinaria con respecto a x. Si no, se puede utilizar el Laplaciano.

En el análisis de Fourier y en otros lugares, la idea básica detrás de la convolución es "Superposición de Ondas" en algún sentido, por lo que para traer una convolución de un operador y una función, uno necesita traer ambos en igualdad de condiciones, si no matemáticamente, al menos físicamente, por lo que uno debe especificar "¿Qué es F "? (¡creo que F sustituye al potencial! pero hay que precisar cuál es el estatuto de F, ¿operador o qué? Si F pertenece al mismo espacio (o clase) al que pertenece la función propia, entonces es una "especie" de ecuación integrodiferencial, se pueden atribuir varios significados físicos a la ecuación anterior, uno de ellos es "La onda está influenciada por varias superposiciones de ondas como "Fuentes" y pegadas entre sí mediante convolución". Uno puede proporcionar información más concreta sobre la base de la situación explícita.