Probabilidad de conocer la respuesta dada y respuestas correctas en la prueba de elección múltiple

Question

He intentado resolver el siguiente problema pero me echa para atrás lo de "adivinar por si no sabe la respuesta". El problema es el siguiente:

Un estudiante realiza un examen con n preguntas de igual dificultad. Para cada pregunta, el estudiante tiene una probabilidad $\theta$ de conocer la respuesta y en ese caso resuelve la pregunta perfectamente. Si no no sabe la respuesta, la adivina y entonces tiene una probabilidad de 0,5 de resolverla correctamente. Las respuestas a las n preguntas pueden considerarse independientes.

A partir de esta información, se pregunta lo siguiente:

Derive analíticamente la función de probabilidad para $\theta$ dado y elementos resueltos correctamente.

La "probabilidad dada por y elementos resueltos correctamente" me confunde. He visto muchos ejemplos de resolución de $P(\theta|Y=1)$ utilizando el teorema de Bayes (por ejemplo, véase aquí ). Pero ¿cómo se puede generalizar esto a una probabilidad para $\theta$ ¿dado y elementos resueltos correctamente? ¿Necesitamos el teorema de Bayes o se puede responder con una distribución binomial? corregido para las adivinanzas dado que no sabe la respuesta?

Además, se hace una pregunta de seguimiento:

Suponiendo una prioridad beta con constantes a y b, obtenga una expresión para la probabilidad marginal $p(y)$ . Simplifica la expresión, pero deja la integral si no hay una solución de forma cerrada.

Esto me hace creer que el teorema de Bayes sí se usaría para la primera pregunta. Cualquier ayuda en cualquier parte de este problema es muy apreciada.

Answer 1

La probabilidad de $\theta$ es $\mathbb P(Y=y | \theta)$ (la probabilidad de los datos dado el parámetro). Pero $Y$ es simplemente una variable aleatoria binomial dada $\theta$ donde la probabilidad de éxito viene dada por la probabilidad de acertar una pregunta. Así que todo lo que tenemos que hacer es calcular la probabilidad de acertar cualquier pregunta.

$$p_\theta:=\mathbb P (\text{correct}) = \mathbb P(\text{correct} | \text{known})\mathbb P(\text{known}) + \mathbb P(\text{correct} | \text{unknown})\mathbb P(\text{unknown}) = \theta + (1-\theta)\cdot0.5$$

Entonces la probabilidad es: $$\sum_i^n \binom{n}{i}{p_\theta}^i(1-p_\theta)^{n-i}$$