¿Pueden ser reducibles todos los polinomios de un grado determinado?

Question

Dejemos que $n > 1$ sea un número entero fijo. ¿Existe un campo $F$ con las siguientes propiedades?

1. $F$ no es algebraicamente cerrado.
2. Todo polinomio $f(x) \in F[X]$ de grado $n$ es reducible.

No se me ocurre ningún campo así, ni siquiera para $n=2$ . Todo lo que puedo probar es que $F$ debe ser infinito.

Answer 1

He aquí un ejemplo de importancia histórica para $n=2$ :

Dejemos que $F$ sea el subcampo de $\mathbb C$ que consiste en todos los números construibles con regla y compás si $0$ , $1$ y $i$ se dan. ( $F$ es un campo porque sumar, negar, multiplicar, tomar recíprocos se puede hacer con regla y compás). Como es posible sacar raíces cuadradas y resolver cuadráticas con regla y compás, vemos que todos los polinomios cuadráticos son reducibles. Por otra parte, el viejo problema clásico de doblar el cubo (es decir, encontrar una raíz de $x^3-2=0$ ) no se puede resolver con regla y compás, por lo que $F\ne \overline F$ .

Answer 2

Sobre un campo finito $\mathbb F_p$ , fije un cierre algebraico $\bar{\mathbb F}_p$ y considerar la unión (creciente) $F$ de las subextensiones ${\mathbb F}_{p^{n^d}}$ , $d\ge 0$ . Dejemos que $f(x)\in F[x]$ de grado $n$ . Entonces, para algunos $d\ge 0$ , $$f(x)\in F_d:=\mathbb F_{p^{n^d}}[x].$$ Si $f(X)$ es irreducible sobre $F$ entonces es irreducible sobre $F_d$ . La ampliación de $F_d$ generado por una raíz $\alpha$ de $f(x)$ en $\bar{\mathbb F}_p$ tiene grado $n$ en $F_d$ Así que $\alpha\in F_{d+1}\subseteq F$ . Así, $f(x)$ es reducible en $F[x]$ . Finalmente, $F\ne \bar{\mathbb F}_p$ : toma un número $\ell$ primo a $n$ entonces $\mathbb F_{p^\ell}\cap F=\mathbb F_p$ . En particular, $\mathbb F_{p^\ell}\not\subseteq F$ .